Una flecha es disparada por un angulo de 45° respecto a la horizontal, describe un arco parabólico definido por la ecuación y=-ax2+bx+c
Use el hecho que la flecha se lanza a una altura vertical de 6 pies y recorre una distancia horizontal de 200 pies, ¿Calcula los coeficientes a, b y c.
¿Cual es la altura máxima alcanzada por la flecha?
Akenaton:
La ecuacion es de la forma: Y = -aX² + bX + C ó Y = aX² + bX + C
Respuestas
Respuesta dada por:
18
Y = -aX² + bX + C
Para: X = 0; Y = 6
Entonces:
6 = -a(0) + b(0) + C
C = 6
Ahora aplicamos el criterio de la Primera derivada que seria la recta tangente en un punto dado:
Y´ = -2aX + b
Para X = 0; Y´ = Tan(45): Y´= 1
1 = -2a(0) + b
b = 1
Ahora para X = 200; Y = 0, porque es el alcance horizontal de la flecha
Y = -aX² + bX + C
Y = -aX² + X + 6
0 = -a(200)² + 200 + 6
0 = -40000a + 206
40000a = 206
a = 0.00515
Entonces los coeficientes son:
a = 0.00515; b = 1; c = 6
La ecuacion de la trayectoria seria:
Y = -0.00515X² + X + 6
Ahora aplico el crieterio de primera y segunda derivada para determinar si tengo un maximo o un minimo
Y´= -2(0.00515)X + 1
Y´= -0.0103X + 1 (Hago Y´ = 0)
0 = -0.0103X + 1
0.0103X = 1
X = 1/0.103
X = 97.0873
Ahora aplico la segunda derivada para mirar si en ese valor de X = 97.0873 tengo un maximo o un minimo
Y´´ = -0.0103 (Menor que 0 entonces tengo un maximo)
Ecuacion de la trayectoria: Y = -0.00515X² + X + 6
Altura maxima 97.0873 pies
Te anexo la grafica de la situacion
Para: X = 0; Y = 6
Entonces:
6 = -a(0) + b(0) + C
C = 6
Ahora aplicamos el criterio de la Primera derivada que seria la recta tangente en un punto dado:
Y´ = -2aX + b
Para X = 0; Y´ = Tan(45): Y´= 1
1 = -2a(0) + b
b = 1
Ahora para X = 200; Y = 0, porque es el alcance horizontal de la flecha
Y = -aX² + bX + C
Y = -aX² + X + 6
0 = -a(200)² + 200 + 6
0 = -40000a + 206
40000a = 206
a = 0.00515
Entonces los coeficientes son:
a = 0.00515; b = 1; c = 6
La ecuacion de la trayectoria seria:
Y = -0.00515X² + X + 6
Ahora aplico el crieterio de primera y segunda derivada para determinar si tengo un maximo o un minimo
Y´= -2(0.00515)X + 1
Y´= -0.0103X + 1 (Hago Y´ = 0)
0 = -0.0103X + 1
0.0103X = 1
X = 1/0.103
X = 97.0873
Ahora aplico la segunda derivada para mirar si en ese valor de X = 97.0873 tengo un maximo o un minimo
Y´´ = -0.0103 (Menor que 0 entonces tengo un maximo)
Ecuacion de la trayectoria: Y = -0.00515X² + X + 6
Altura maxima 97.0873 pies
Te anexo la grafica de la situacion
Adjuntos:
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