Question

Ayudenme en esta integral:
S dx/X elevado 6+ 2X elevado 4+X elevado 2
S = significa integral


en la ultima foto: eso fue lo que pude hacer buscando las raices del denominardor (con ruffini) y luego saque factor comun de x. pero me queda un polinomio de grado 3 entonces no se como hacer para resolverlo, por fracciones paiciales

Answer 1

Listo haber,

lo primero es factorizar el denominador, sacamos factor común y luego tenemos un trinomio cuadrado perfecto debistte llehar a algo así,

$\displaystyle \frac{1}{ x^{2} ( x^{2} +1)^{2} }$

tenemos un polinomio de grado seis, por el teorema fundamental del Álgebra nos dice que un polinomio de n grado tendrá  n raíces, en éste caso tenemos dos pares de raíces repetidas y que además son imaginarias, entonces como tenemos cuatro factores en el denomiadnor entonces tendremos cuatro fracciones parciales,

$\displaystyle \frac{1}{ x^{2} ( x^{2} +1)^{2} }= \frac{A}{x}+ \frac{B}{ x^{2} } + \frac{Cx+D}{ x^{2} +1}+ \frac{Ex+F}{ (x^{2} +1)^{2}}$

listo ahora, haz esa suma de fracciones, y resuleves el sistema de ecuaciones, que pr lo genre l no son complicados, te va auqudar

$\displaystyle \frac{1}{ x^{2} } - \frac{1}{ ( x^{2} +1)^{2} } -\frac{1}{ x^{2} +1 }$

ahora la integral de la primera es fácil, la tercera es arcotangete de x, directo¡¡...y la segunda puedes ocnsiderar hace runa sustitución del tipo

$x=\tan(u) \\ dx=sec^{2} (x)dx$

haciendo los reemplazos, y la simplificaión te va a qeudar

$\displaystyle\int{\cos^{2} (x)}dx$

y esa integral ya es mucho más fácil porque solo consideras una identidad trigonométrica y ya

inténtalo hacer¡...y me avisas como te fue