Question

Un depósito de líquido caliente se coloca en un congelador que se mantiene a una temperatura constante de 25 °F. La temperatura inicial del líquido es 150 °F. Después de 10 minutos, la temperatura del líquido es 90 °F. ¿Cuánto será la temperatura después de 20 minutos?

Answer 1

Después de  20  minutos el líquido se habrá enfriado a  58.8° F  aproximadamente.

Explicación:  

Si   D₀   es la diferencia de temperatura inicial entre un objeto y sus alrededores, y si sus alrededores tienen temperatura   A,   entonces la temperatura del objeto  T   en el tiempo   t   se modela mediante la función:

$\bold{T_{(t)}~=~A~+~D_{0}\cdot e^{k\cdot t}}$

donde    k    es una constante que depende del tipo de objeto.

El enunciado anterior corresponde a la llamada Ley de Enfriamiento de Newton, y la vamos a aplicar para responder la situación planteada.  

Vamos a sustituir los datos aportados en el modelo matemático de la Ley de Enfriamiento de Newton para conocer el valor de las constantes en el modelo y obtener el modelo de simulación de la temperatura del líquido:

Inicialmente,     t = 0,    el líquido tiene una temperatura de   T(0) = 150° F   y se lleva a un congelador que tiene una temperatura de   A  =  25° F,     entonces

$\bold{150~=~25~+~D_{0}\cdot e^{k\cdot(0)}\qquad\Rightarrow\qquad D_{0}~=~125}$

Hallamos el valor de    k,     sabiendo que después de 10 minutos,       T(10), el líquido está a       90° F.       Sustituimos en el modelo

$\bold{90~=~25~+~125\cdot e^{k\cdot(10)}\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{90~-~25}{125}~=~\cdot e^{k\cdot(10)}\qquad\Rightarrow}$

$\bold{Ln(\dfrac{13}{25})~=~k\cdot(10)\qquad\Rightarrow\qquad k~=~(\dfrac{1}{10}\cdot Ln(\dfrac{13}{25})}$

El modelo de simulación de la temperatura del líquido es:

$\bold{T_{(t)}~=~25~+~125\cdot e^{(\dfrac{t}{10}\cdot Ln(\dfrac{13}{25})}}$

Respondamos la interrogante:

$\bold{T_{(20)}~=~25~+~125\cdot e^{(\dfrac{20}{10}\cdot Ln(\dfrac{13}{25})}~\approx~58.8^{o}~F}$

Después de  20  minutos el líquido se habrá enfriado a  58.8° F  aproximadamente.