supongase que hay tres cajas identicas, A, B y C. la caja A contiene 3 monedas de cobre, la B una de cobre y 2 de niquel y la C contiene 1 de plata, 2 de niquel y 2 de cobre. Se toma al azar una caja y luego se saca una moneda de la cajha seleccionada. Si es de cobre la moneda, ¿Cual es la probabilidad que halla sido tomada de la caja A?¿cual es la probabilidad que halla sido tomada de la caja C?
Respuestas
Para el primer evento la probabilidad de elegir cualquier caja es la la misma
P ( A ) = P ( B ) = P ( C ) = 1/3
Para la moneda de cobre ya depende de cual caja se haya elegido
Para la caja A P ( c ) = 1 porque las tres monedas son de cobre y no hay más
Para la caja B P ( c ) = 1/3 ya que hay una de cobre de 3 en total
Para la caja C P ( c ) = 2/5 dos de cobre de 5 en total
Entonces:
Si fue de la caja A P ( c ) = P ( A ) P ( c ) = 1/3 ( 1 ) = 1/3
Si fue de la caja B P ( c ) = P ( C ) P ( c ) = 1/3 ( 2/5 ) = 2 /15
Respuesta:
P(A|Cobre) = 2/5, P(B|Cobre) = 1/5, P(C|Cobre)
Explicación paso a paso
Este es un problema de probabilidad condicional, dado que ya sucedió el hecho de sacar una moneda de cobre.
Primero tenemos que A+B+C = 1, y como A, B y C tienen la misma probabilidad de suceder, entonces 3 * Cajas = 1, Caja = 1/3. Esta es la probabilidad de escoger una caja al azar.
Usando el teorema de Bayes:
P(A|Cobre) = P(A ^ Cobre) / P(Cobre) = 2/10 (Probabilidad de que saque una moneda de cobre y que sea de la caja A) / 1/2 (Probabilidad que saque una moneda de cobre en general) = 2/5
Se hace lo mismo con las demás:
P(B|Cobre) = P(B ^ Cobre) / P(Cobre) = (1/10) / (1/2) = 1/5
P(C|Cobre) = P(C ^ Cobre) / P(Cobre) = (2/10) / (1/2) = 2/5
Para verificar, puedes notar que 2/5 + 1/5 + 2/5 = 1, para el espacio muestral de la probabilidad de, al obtener una moneda de cobre, sea de alguna de las tres cajas (El cual debería de dar 100%, o 1)