Question

los lados de un triangulo rectángulo están en progresión aritmética cuya razon es 1 calcular su perimetro

Answer 1

si estan en progresion aritmetica de razon uno entonces los lados son:

a-1 , a, a+1

como es triangulo rectangulo, la hipotenusa es el lado mayor y los catetos los menores.

Hipotenusa = a+1
Cateto mayor = a
cateto menor = a-1

Formula de Pitagoras:

Cateto_menor^2 + Cateto_mayor^2 = Hipotenusa^2

(a-1)^2 + a^2 = (a+1)^2

a^2 -2a + 1 + a^2 = a^2 + 2a + 1

despejando :

a^2 = 4a   =>  a.a = 4.a
 
a = 4

el perimetro seria :

a + (a+1) + (a -1) = 4 + 5 + 3 = 12

Answer 2

Si no me equivoco creo que es de la siguiente forma igual hace tiempo que salí del colegio jaja. 
utilizare el simbolo " para indicar exponente. 
es una progresion aritemetica a razón de 1, por lo tanto cada lado del triangulo será:
c
c+1
c+2

donde c+2 es la hipotenusa. entonces aplicas el teorema de pitagoras. c"2 = a"2+b"2

(c+2)"2 = (c)"2 + (c+1)"2

son trinomios cuadraros perfectos por lo que los resuelves, y te queda así. 

c"2+4c+4 = c"2+c"2+2c+1

entonces organizas la ecuación de esta forma

0=c"2+c"2+2c+1-c"2-4c-4

simplificas y te queda

c"2-2c-3 esto es una ecuación cuadrática donde el primer termino es a el segundo es b y el tercero es c, seguimos la ecuación  X= (-b+-raiz de (b"2-4ac)/2a)

ese +- indica que hay 2 posibles respuestas la que nos interesa es la positiva ya que un numero negativo no se toma en cuenta por lo tanto reemplazando tenemos.

X= 2 + raiz de (-2)"2 -4(1)(-3)/2(1)
X = (2+raiz de 16/2)
X = (2+4)/2
X = 3

Sabiendo esto los lados del triangulo serían 

C=3
C +1=4
c+2 =5
 por lo tanto la suma del perímetro seria 12. Espero estar en lo correcto. 
Saludos