Question

X fa ayudenme
Tema: Progresiones
Maria ingresa a un plan de ahorro mensual, cada mes ahorra $20 mas que el mes anterior. Si el plan dura un año, y al final sus ahorro suman $1680. determina

¿ Cuanto ahorro el primer mes?
¿ cuanto ahorro el ultimo mes?

Answer 1

Es una aplicación práctica de progresiones aritméticas (PA) puesto que cada mes ahorra 20 más que el anterior, luego esa cantidad será la diferencia (d) entre lo que ahorra un mes y otro, o sea, diferencia entre términos consecutivos.

Si consigues pillarle el truco a identificar lo que dice el texto y trasladarlo a datos de la progresión, tienes casi todo hecho, veamos:

Si el plan dura un año y ahorra cada mes, la PA tiene 12 términos que son los meses de ese año por lo tanto, n = 12

Finalmente sabemos también el ahorro total, suma de lo que ahorra cada mes, o sea que  $S_n$ = 1.680

Lo que nos pide el ejercicio es el primero y el último término de la progresión, o sea, $a_1$  y  $a_{12}$

Hay que apoyarse en dos fórmulas:
1ª) La del término general ... $a_n=a_1+(n-1)*d$ ... sustituyendo...

$a_{12}=a_1+(12-1)*20$ ....  $a_{12}=a_1+220$

2ª) La de suma de términos..  $S_n= \frac{(a_1+a_n)*n}{2}$
...sustituyendo...

$1680 = \frac{(a_1+ a_{12} )*12}{2}$ ... 

$1680=6*(a_1+ a_{12} ) \\ 280=a_1+ a_{12} \\ a_{12}=280-a_1$

Tenemos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.
$a_{12}=a_1+220$
$a_{12}=280-a_1$

Resolviendo por reducción:

$2 a_{12} =220+280 \\ \\ a_{12} = \frac{500}{2}=250$

250 es lo que ahorró en el último mes. 

Despejo a₁ en la primera y sustituyo a₁₂ por su valor...
$a_1=250-220$ = 30 es lo que ahorró el primer mes.

Saludos.