Question

Ayuda con la resolución de la siguiente desigualdad:
x + 1 / 2 - x < x / 3 + x
Nota: La intento resolver con puntos críticos pero al tratar de obtenerlos me resulta un discriminante negativo...

Answer 1

Sin paréntesis te queda 1/2 < x/3 + x es decir
1/2 < 4/3 x   ;   x > 1/2 * 3/4  ;  x > 3/8

Si la inecuación es así   x +1/ (2 -x) < x / (3+x)

Primero me fijo cuándo se cumple que x +1/ (2 -x) es exactamente igual a x / (3+x) Es decir me fijo para que valores de x se cumple

x +1/ (2 -x) = x / (3+x)

Para eliminar los denominadores multiplico a ambos lados de la igualdad por (2-x)(3+x), me queda

x(2-x)(3+x)   +(3+x)   =  x(2-x)

ya que algunos términos se cancelan

Si distribuyo queda

x(6+2x-3x-x²) +3+x = 2x -x²
x(6-x-x²)         +3+x = 2x -x²
6x-x²-x³          +3+x = 2x -x²

Se cancela -x² de ambos lados

6x -x³ +3+x = 2x 
5x -x³ +3 = 0
x³ -5x -3 =0

Las raíces de este polinomio no me parecen sencillas de hallar, creo que usaría algún programa para ver cuales son

Yo encontré que eran aproximadamente -1,8342; -0,6566; 2,4909

Una vez que tenes las raíces, los demás puntos críticos en este caso son el 2 y el -3, ya que estas funciones (las de la parte izquierda y de la parte derecha de la inecuación) tienen asíntotas en esos valores porque no están en sus dominios

Entonces armo los intervalos de la siguiente manera:
(-∞;-3)  (-3;-1,8342)  (-1,8342;-0,6566)  (-0,6566;2)  (2;2,4909) (2,4909;+∞)

Los puntos críticos definen los intervalos de x que son solución o no, y con elegir un valor cualquiera en cada uno de esos intervalos y reemplazar en la inecuación basta para decidir si todos los puntos en ese intervalo te sirven

Por ejemplo para ver si el intervalo (-∞;-3) es solución reemplazo en la inecuación por -4; me queda -4+1 / (2-(-4)) < -4/ (3-4) es decir -4+1/6 < 4 lo cual se cumple por lo cual el intervalo te sirve, es solución

Para (-3;-1,8342) reemplazo por -2, queda -2+1/4 < -2 no se cumple, no es solución

Para (-1,8342;-0,6566) reemplazo por -1, queda -1+1/(2+1) < -1/ (3-1) es decir -1+1/3<-1/2 es decir -4/3<-1/2 Multiplico por 6 a ambos lados para poder comparar, me queda -4*2<-3 lo cual si se cumple entonces este intervalo también es solución

Para (-0,6566;2) reemplazo por 0, queda 1/2 < 0/3 no se cumple tampoco

Para (2;2,4909) reemplazo por 2,1 queda 2,1+1/(-0,1) < 2,1/0,9 es decir 2,1-10<2,1/0,9 es decir -7,9<2,1/0,9 lo cual también se cumple

Para (2,4909;+∞) reemplazo por 3, queda 3-1<3/6 es decir 2<1/2 no se cumple

Luego la solución es la unión de varios intervalos: todos los x que pertenecen a (-∞;-3)∪(-1,8342;-0,6566)∪(2;2,4909)