Question

simplifica la expresión a su mínima forma:
$\frac{\sqrt{2.4^{x+1}+4^x}}{4^x}$

Answer 1

Por regla de los exponentes, 4 elevado a "x+1" es lo mismo que 4 elevado a la x multiplicado  por 4 elevado a la 1 que es 4
Entonces ese término queda 2 * 4^x *4 es decir 8*4^x
Luego saco factor común 4^x

$\frac{ \sqrt{2.4 ^{x+1}+ 4^{x} } }{4^{x} } = \frac{ \sqrt{2.4 ^{x}.4+ 4^{x} } }{4^{x} } = \frac{ \sqrt{8.4 ^{x}+ 4^{x} } }{4^{x} } =\frac{ \sqrt{4 ^{x}(8+1) } }{4^{x} }=\frac{ \sqrt{4 ^{x}9 } }{4^{x} }$

Luego la raíz se distribuye en los dos factores que están multiplicandose
La raíz de 9 queda 3, la raíz de 4^x puedo reescribirla como elevar al 4^x a la 1/2 y además el 4^x del denominador puedo pasarlo al nominador reescribiéndolo como 4^(-x) 
Por reglas de exponentes, como tenes la misma base "4^x" los exponentes se suman Entonces te queda 4^x elevado a la 1/2-1 es decir elevado a la -1/2
Eso es lo mismo que hacer 1 sobre la raíz de 4^x, entonces te queda

$\frac{ \sqrt{4 ^{x}9 } }{4^{x} }=\frac{ \sqrt{4 ^{x} } }{4^{x} } \sqrt{9} =\frac{ \sqrt{4 ^{x} } }{4^{x} } 3= \frac{3}{ \sqrt{4^x} }$

Otra manera de hacer el último paso, es multiplicar nominador y denominador por raíz de 4^x, entonces arriba te queda 4^x que se cancela con el que ya estaba en el denom, y abajo te queda la raíz que acabas de agregar