Question

ME PUEDEN AYUDAR CON ESTO POR FAVOR

Dados dos vértices adyacentes de un cuadrado A(2 ;-1) y B(-1 ;3), determinar los otros dos vértices

Answer 1

 Vector AB = [ 2 - (-1) ; 1 - (-5) ] 

Vector AB = [ 2 + 1 ; 1 + 5 ] 

Vector AB = (3,6) = 3(1,2) 

D [ A ; B ] = √ { [2 - (-1)]² + [1 - (-5)]² } 

D [ A ; B ] = √ [ (2 + 1)² + (1 + 5)² ] 

D [ A ; B ] = √ (3² + 6²) 

D [ A ; B ] = √ ( 9 + 36 ) 

D [ A ; B ] = √ 45 

La recta que pasa por (-1, -5) y (2, 1) sera: 

y = mx + h 

(1) -5 = m(-1) + h 

(2) 1 = m(2) + h 

Restando (2) - (1) obtengo: 3m = 6 ; m = 2 ; h = - 3 

y = 2x - 3 

Una recta perpendicular a la anterior tiene la forma siguiente ya que el producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es -1: 

y = (-1/2)x + h Si pasa por (2,1) entonces... 

1 = (-1/2)(2) + h 

1 = - 1 + h 

h = 2 

y = (-1/2)x + 2 

La que pasaria por (-5, -1) seria la siguiente: 

y = (-1/2)x + h Reemplazo por el punto (-1, -5) 

-5 = (-1/2)(-1) + h 

-5 = 1/2 + h 

h = -5 - 1/2 

h = - 11/2 

y = (-1/2)x - 11/2 

Entonces hasta ahora tenemos 3 rectas, una que pasa por esos dos puntos (-1, -5) y (2, 1) que es y = 2x - 3. 

Y ademas encontramos dos rectas que son simultaneamente perpendiculares a y = 2x - 3 y que pasan por cada una por un punto, es decir: 

La recta y = (-1/2)x + 2 pasa por el punto (2, 1) 

La recta y = (-1/2)x - 11/2 pasa por el punto (-1, -5) 

Entonces como sospechamos hay dos posibilidades de formar un cuadrado, es decir, podemos encontrar dos rectas que esten a distancia √45 de la recta y = 2x - 3 ¿No? 

La circunferencia de radio √45, con centro en el (2, 1) seria: 

(x - 2)² + (y - 1)² = 45 

Si la intersectamos con la recta que pasa por su centro: 

(x - 2)² + [ (-1/2)x + 2 - 1]² = 45 

(x - 2)² + [ (-1/2)x + 1]² = 45 

x² - 4x + 4 + (1/4)x² - x + 1 = 45 

(5/4)x² - 5x + 5 = 45 

(1/4)x² - x + 1 = 9 

x² - 4x + 4 = 36 

x² - 4x - 32 = 0 

Por resolvente cuadrática tenemos: 

= { 4 ± √ [ 16 - 4(-32) ] } / 2 

= { 4 ± √ [ 16 + 128 ] } / 2 

= [ 4 ± √(144) ] / 2 

= (4 ± 12) / 2 

= 2 ± 6 

Las posibles coordenadas x son "x = 8" y "x = - 4" 
Vamos a reemplazar en la recta que es mas comodo: 

y = (-1/2)x + 2 para x = 8 tenemos: 

y = (-1/2)(8) + 2 

y = - 4 + 2 

y = - 2 

Para x = - 4 tengo: 

y = (-1/2)(-4) + 2 

y = 2 + 2 

y = 4 

Ahora hay que buscar los puntos de interseccion de la circunferencia con centro en el (-1, -5) y radio √45 con la recta y = (-1/2)x - 11/2 

(x + 1)² + (y + 5)² = 45 

(x + 1)² + [ (-1/2)x - 11/2 + 5]² = 45 

(x + 1)² + [ (-1/2)x -1/2 ]² = 45 

(x + 1)² + (1/4)(x + 1)² = 45 

(5/4)(x + 1)² = 45 

(x + 1)² = 45(4/5) 

(x + 1)² = 36 

√(x + 1)² = √36 

│x + 1│ = 6 

x + 1 = ± 6 

x = - 1 ± 6 

Los dos posibles valores de x son "x = 5" y "x = - 7" 

Reemplazando en la recta obtenemos: 

y = (-1/2)x - 11/2 para x = 5 

y = -5/2 - 11/2 

y = - 16/2 

y = - 8 

Para x = - 7: 

y = (-1/2)(-7) - 11/2 

y = 7/2 - 11/2 

y = - 4/2 

y = -2 

Entonces las dos unicas posibles soluciones son: 

Solución 1) (-1, -5) ; (2, 1) ; (8, -2) ; (5, -8) 

Solucion 2) (-1, -5) ; (2, 1) ; (- 4, 4) ; (- 7, -2) 

Fijate que mi solución esta correcta porque la recta que pasa por los puntos (- 4, 4) y (- 7, - 2) es paralela a la recta que pasa por los puntos (- 1, - 5) y (2, 1) ............. 

¡¡¡Terminé!!!