Buenas tardes me ayudan a resolver este ejercicio, de limite por analisis de trayectorias de inicio a fin, paso a paso por favor
Obtener el siguiente limite por análisis de trayectorias
lim............................2x - y
(x,y)→(0,0)..........--------------
.............................x^2 + y^2
Respuestas
Respuesta dada por:
0
Yo necesito el limite cuando x e y ambas variables se acercan a cero
Yo sé además que para que un límite exista este debe ser único, es decir que si me acerco al (0,0) tomando distintas trayectorias el límite tiene que dar lo mismo para existir
En este caso voy a intentar acercarme por rectas
Para eso digo que y es exactamente a*x donde a es un número real
Entonces me queda
lim............................2x - y
x→0 ; y=ax..........--------------
.............................x^2 + y^2
Es decir
lim............................2x - x
x→0 .....................--------------
.............................x^2 + (ax)^2
lim................................x
x→0 ...................----------------
...........................x^2 + a^2*x^2
lim................................x
x→0 ...................----------------
.............................(1+a^2)x^2
lim............................1
x→0 ................--------------
..........................(1+a^2)x
El cual da más infinito si me acerco a x por los valores positivos, y da menos infinito si me acerco a x por los valores negativos
Como da dos cosas distintas de acuerdo a de donde me acerco, entonces el límite no existe
Yo sé además que para que un límite exista este debe ser único, es decir que si me acerco al (0,0) tomando distintas trayectorias el límite tiene que dar lo mismo para existir
En este caso voy a intentar acercarme por rectas
Para eso digo que y es exactamente a*x donde a es un número real
Entonces me queda
lim............................2x - y
x→0 ; y=ax..........--------------
.............................x^2 + y^2
Es decir
lim............................2x - x
x→0 .....................--------------
.............................x^2 + (ax)^2
lim................................x
x→0 ...................----------------
...........................x^2 + a^2*x^2
lim................................x
x→0 ...................----------------
.............................(1+a^2)x^2
lim............................1
x→0 ................--------------
..........................(1+a^2)x
El cual da más infinito si me acerco a x por los valores positivos, y da menos infinito si me acerco a x por los valores negativos
Como da dos cosas distintas de acuerdo a de donde me acerco, entonces el límite no existe
Disculpa aprete enter sin querer ¿Esta es la respuesta? : lim............................1
x→0 ................--------------
..........................(1+a^2)x
x→0 ................--------------
..........................(1+a^2)x
no, la respuesta es que el límite no existe
La justificación es que el límite es único entonces si existe tiene que ser el mismo sin importar si me acerco por rectas, por los valores negativos de x, por los positivos, etc Ento
nces te fijas que en el problema si yo digo y=x con x positivo el límite te da +infinito y si yo digo y=x pero con x sea negativo entonces el límite da menos infinito (en ambos casos con x tendiendo a cero) Entonces ves que el límite cuando x se acerca a cero por los positivos da una cosa, y que cuando x se acerca a cero por los negativos da otra cosa; entonces concluis que el límite no existe
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x→0 ................--------------
..........................(1+a^2)x