Question

Cuál es el cos(4x)=?? Necesito su resultado en función de SenX y el otro resultado en función de CosX

Answer 1

Para la suma de cosas que están dentro del argumento del seno y el coseno, se cumplen las siguientes propiedades:

$cos( \alpha + \beta )=cos( \alpha )cos( \beta )-sen( \alpha )sen( \beta ) \\ \\ sen( \alpha + \beta )=cos( \alpha )sen( \beta )+cos( \beta )sen( \alpha )$

Cuando los ángulos son iguales, las propiedades quedan de la siguiente manera:

$cos( \alpha + \alpha )=cos( \alpha )cos( \alpha )-sen( \alpha )sen( \alpha ) \\ \\ sen( \alpha + \alpha )=cos( \alpha )sen( \alpha )+cos( \alpha )sen( \alpha )$

Es decir

$cos(2 \alpha )=cos ^{2} ( \alpha )-sen ^{2} ( \alpha ) \\ \\ sen(2 \alpha )=2cos( \alpha )sen( \alpha )$

Podes aplicar la propiedad de los cosenos de la siguiente manera:

$cos(4 \alpha )=cos( 2\alpha +2 \alpha )=cos( 2\alpha )cos( 2\alpha )-sen(2 \alpha )sen(2 \alpha ) \\ cos(4 \alpha )= cos^{2} (2 \alpha )-sen^{2} (2 \alpha )$

Como piden en función de senos y cosenos, uso las propiedades

$cos(4 \alpha )= [cos ^{2} ( \alpha )-sen ^{2} ( \alpha )]^{2} -[2cos( \alpha )sen( \alpha )]^{2}$

Distribuyo

$cos(4 \alpha )= cos ^{4}( \alpha ) -2cos ^{2}( \alpha )sen ^{2}( \alpha )+sen ^{4}( \alpha ) -[4cos ^{2}( \alpha )sen^{2}( \alpha ) ] \\ \\ cos(4 \alpha )= cos ^{4}( \alpha ) -6cos ^{2}( \alpha )sen ^{2}( \alpha )+sen ^{4}( \alpha )$

Luego usas la identidad para el seno y el coseno cuadrado que dice que

$cos ^{2} ( \alpha )+sen ^{2} ( \alpha )=1$

Para escribir todo en función de senos o todo en función de cosenos

En función de senos:

$cos(4 \alpha )= (1-sen ^{2}( \alpha ) )^{2}-6(1-sen ^{2}( \alpha ))sen ^{2}( \alpha )+sen ^{4}( \alpha )$

En función de cosenos

$cos(4 \alpha )= cos ^{4}( \alpha ) -6cos ^{2}( \alpha )(1-cos ^{2}( \alpha ))+(1-cos ^{2}( \alpha )) ^{2}$

*No escribo en la variable x, pero es lo mismo 

Answer 2

Calculamos el cos(4x) tan en función de sen(x) como de cos(x)

¿Cómo resolver el problema?

Debemos encontrar una propiedad trigonométrica que nos permita descomponer el número de manera de eliminar el valor "4" dentro del argumento

Resolución del problema

Usaremos las propiedades:

cos(2x) = cos²(x) - sen²(x)

cos²(x) + sen²(x) = 1

sen(2x) = 2 sen(x)cos(x)

Como cos(2x) = cos²(x) - sen²(x):

cos(4x) = cos²(2x) - sen²(2x)

= (cos²(x) - sen²(x))² - (2sen(x)cos(x))²

= cos⁴(x) - 2sen²(x)cos²(x) + sen⁴(x) - 4sen²(x)cos²(x)

= cos⁴(x) + sen⁴(x) - 6sen²(x)cos²(x)

En función del seno:

Tenemos que cos²(x) = 1 - sen²(x)

(1 - sen²(x))² + sen⁴(x) - 6sen²(x)(1 - sen²(x))

= 1 - 2sen²(x) + sen⁴(x) + sen⁴(x) - 6sen²(x) + 6sen⁴(x)

= 1 - 8sen²(x) + 8sen⁴(x)

En función del coseno:

Tenemos que sen²(x) = 1 - cos²(x)

cos⁴(x) + (1 - cos²(x))² - 6(1 - cos²(x))cos²(x)

= cos⁴(x) + 1 - 2cos²(x) +  cos⁴(x) - cos²(x) + 6cos⁴(x)

= 8cos⁴(x) - 3cos²(x) + 1

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