Question

DOY CORONA Me pueden ayudar con este ejercicio de calculo

Answer 1

Explicación:

peri que te pide , -4×+13

Answer 2

Respuesta:

Pendiente de la recta tangente--->m(2)=-4

Ec. de la recta tangente--->y=-4x+13

Explicación:

La expresión que tienes es :

$y=9-x^{2}$

Y te piden valuar el siguiente límite:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$  

Este límites corresponde a la pendiente de la recta tangente la función y en el punto (2,5). Primero, hallamos f(x + Δx).

$f(x+\Delta x)=9-(x+\Delta x)^{2}$

Ahora, sustituyendo y valuando directamente obtenemos:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{9-(x+\Delta x)^{2}-(9-x^{2})}{\Delta x}=\frac{9-(x+0)^{2}-9+x^{2}}{0}=\frac{9-x^{2}-9+x^{2}}{0}=\frac{0}{0}$

Obtenemos una forma indeterminada 0/0. Para ello, desarrollamos el binomio al cuadrado, desde el límite:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{9-(x+\Delta x)^{2}-(9-x^{2})}{\Delta x}\\\\\lim_{\Delta x \to 0} \frac{9-(x^{2}+2x\Delta x+\Delta x^{2})-9+x^{2}}{\Delta x}$

Y simplificamos:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{9-x^{2}-2x\Delta x-\Delta x^{2}-9+x^{2}}{\Delta x}\\\\\lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2x\Delta x-\Delta x^{2}}{\Delta x}\\\\\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x( -2x-\Delta x)}{\Delta x}\\\\\lim_{\Delta x \to 0} (-2x-\Delta x)$

Y ahora valuamos el límite:

$\lim_{\Delta x \to 0}(-2x-\Delta x)=-2x+0=-2x$

Como se mencionó al principio, ese valor es la pendiente de la recta tangente a lo largo de la función y. Es decir m(x)=-2x.

La pendiente en el punto (2,5), sería:

$m(2)=-2(2)=-4$

*Solo valuamos para x=2 el valor de la pendiente m.

Ahora, si te piden la ecuación de la recta tangente a la función y, en el punto (2,5), podemos utilizar la forma Punto-Pendiente de la recta, para hallar su ecuación:

$Ec.\:Punto-Pendiente:y-y_0=m(x-x_0)$

*Donde m es la pendiente (es decir, -4), y (x0,y0) son las coordenadas del punto por donde pasa (o sea, 2,5). Sustituyendo obtenemos:

$y-5=-4(x-2)\\y=-4x+8+5\\y=-4x+13$

Esta sería la ecuación de la recta tangente en el punto (2,5)

Espero te sirva!!