Question

Las coordenadas de un punto P son (2, 6), y la ecuación de una recta l es 4 x + 3 y = 12. Hallar la distancia del punto P a la recta l siguiendo en orden los siguientes pasos: a) Hallar la pendiente de I. b) Hallar la ecuación de la recta I' que pasa por P y es perpendicular a I. c) Hallar las coordenadas de P’ , punto de intersección de l y l'. d ) Hallar la longitud del segmento PP'

Answer 1

I = 4X + 3Y = 12 ,  P: (2 , 6)
a)
La tengo que dejar de la forma: Y = mX + b

3Y = -4X + 12:  Y = (-4/3)X + 4

Pendiente de la recta m = -4/3.

b) Para que dos rectas sean perpendiculares el producto de sus pendientes debe ser -1

-1= m1xm2:   m1 = -4/3,   -1 = (-4/3)(m2):  m2 = (-1)/(-4/3) = 3/4

Ya tengo la pendiente m2 = 3/4 y el punto (2 , 6), uso la ecuacion de la recta punto pendiente:

Y - Y1 = m(X - X1):  Donde m = 3/4, X1 = 2,  Y1 = 6

Y - 6 = (3/4)(X - 2):  Y - 6 = (3/4)X - 3/2:   Y = (3/4)X - 3/2 + 6

Y = (3/4)X + 9/2:  Y = (3/4)X + 4.5

I´=Y = (3/4)X + 4.5.

c) El punto de interseccion se producen cuando las dos rectas tiene el mismo punto (x , Y)

Y = (-4/3)X + 4
 
Y = (3/4)X + 4.5.

Y = Y: (-4/3)X + 4 = (3/4)X + 4.5.

4 - 4.5 = (3/4)X + (4/3)X

-0.5 = (25/12)X

(-0.5)(12) = 25X

-6 = 25X

X = -6/25

Reemplazo para hallar el valor de Y

Y = (3/4)X + 4.5

Y = (3/4)(-6/25) + 4.5

Y = -9/50 + 4.5

Y = 4.32

El punto de interseccion entre I y I´ se produce en el  punto (-6/25 , 108/25)

d) Longitud desde P(2 , 6) hasta (-6/25 , 108/25)

dPP´=  $\sqrt{(X2 - X1)²+(Y2-Y1)²}$

Donde: X1 = 2, X2 = -6/25;   Y1 = 6,  Y2 = 108/25

$\sqrt{((-6/25) - 2)^{2} +((108/25)-6)^{2} }$

dPP´=$\sqrt{5.0176+2.8224}$

dPP´=$\sqrt{7.84} =2.8$

dPP´= 2.8

Te anexo la grafica de la situacion

Answer 2

Explicación paso a paso:

l= 4X + 3Y = 12 , P: (2 , 6)

a)

La tengo que dejar de la forma: Y = mX + b

3Y = -4X + 12: Y = (-4/3)X + 4

Pendiente de la recta m = -4/3.

b) Para que dos rectas sean perpendiculares el producto de sus pendientes debe ser -1

-1= m1xm2: m1 = -4/3, -1 = (-4/3)(m2): m2 = (-1)/(-4/3) = 3/4

Ya tengo la pendiente m2 = 3/4 y el punto (2 , 6), uso la ecuacion de la recta punto pendiente:

Y - Y1 = m(X - X1): Donde m = 3/4, X1 = 2, Y1 = 6

Y - 6 = (3/4)(X - 2): Y - 6 = (3/4)X - 3/2: Y = (3/4)X - 3/2 + 6

Y = (3/4)X + 9/2: Y = (3/4)X + 4.5

c) El punto de interseccion se producen cuando las dos rectas tiene el mismo punto (x , Y)

Y = (-4/3)X + 4

Y = (3/4)X + 4.5.

Y = Y: (-4/3)X + 4 = (3/4)X + 4.5.

4 - 4.5 = (3/4)X + (4/3)X

-0.5 = (25/12)X

(-0.5)(12) = 25X

-6 = 25X

X = -6/25

Reemplazo para hallar el valor de Y

Y = (3/4)X + 4.5

Y = (3/4)(-6/25) + 4.5

Y = -9/50 + 4.5

Y=4.32

El punto de interseccion entre I y I´ se produce en el punto (-6/25 , 108/25)

d) Longitud desde P(2 , 6) hasta (-6/25 , 108/25)

dPP´= \sqrt{(X2 - X1)²+(Y2-Y1)²}

(X2−X1)

2

+(Y2−Y1)

2

Donde: X1 = 2, X2 = -6/25; Y1 = 6, Y2 = 108/25

\sqrt{((-6/25) - 2)^{2} +((108/25)-6)^{2} }

((−6/25)−2)

2

+((108/25)−6)

2

dPP´=\sqrt{5.0176+2.8224}

5.0176+2.8224

dPP´=\sqrt{7.84} =2.8

7.84

=2.8

dPP´= 2.8

Te anexo la grafica de la situacion