Question

Hallar dos números cuya suma de cuadrados es igual a 100y cuyo producto sea máximo.

Answer 1

SOLUCIÓN: {Los valores que maximizan la ecuación son x = 5√2 e y = 5√2}

Planteamos todo como como ecuación siendo x e y la representación en variables de dos números.

La suma de cuadrados se representa como: x² + y²

Entonces tenemos:

x² + y² = 100

Despejamos y: y² = 100 - x²

y = √(100 - x²) → En función de x

El producto en ambos debe ser máximo (Máximo x· y):

Función objetivo: x · y = [√(100 - x²)] · x 

F (x) = x · [√(100 - x²)]

Derivamos para hallar el máximo (debemos aplicar Regla de la cadena)

$F'(x)= \sqrt{(100- x^{2} )} - \frac{ x^{2} }{\sqrt{(100- x^{2} )}}$

Evaluamos en F'(x) = 0:

$\sqrt{(100- x^{2} )} - \frac{ x^{2} }{\sqrt{(100- x^{2} )}} =0$

$\frac{100- x^{2} - x^{2} }{ \sqrt{100- x^{2} } } =0$

100 - 2x² = 0

2x² = 100

x² = 50

x = √50

x= 5√2

HALLAMOS Y:

y = √(100 - x²)

y = √(100 - (5√2)²)

y = 5√2

COMPROBAMOS:

(5√2)² + (5√2)² = 50 + 50 = 100