Question

Un puente horizontal de 28 30 metros de largo une dos colinas cuyas la-
deras forman con el horizonte ángulos de 32° y 46" Cuál es la altura del
puente con respecto al vertice del ángulo formado por las dos laderas?
28.3 m​

Answer 1

La altura del puente es de 11.03 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo oblicuángulo.

Solución

Se representa la situación en un triángulo oblicuángulo el cual está conformado por el lado AB (c) que representa la longitud del puente, y los lados AC (b) y BC (a) que equivalen a las respectivas distancias de cada una de las dos laderas desde cada uno de los extremos del puente hasta el vértice C donde ambas laderas convergen

Donde se pide hallar la altura del puente con respecto al vértice del ángulo formado por las dos laderas

Para facilitar la resolución del problema podemos hallar cualquiera de las dos longitudes de las laderas hasta el vértice mencionado, dado que conocemos la longitud del puente y los ángulos que este forma en cada extremo con cada una de las laderas

Teniendo para la ladera ubicada a la izquierda un ángulo de 46°, y para la ladera de la derecha un ángulo de 32°, donde denotaremos a estos dos ángulos como α y β respectivamente

Dado que la altura que es nuestra incógnita secciona al triángulo oblicuángulo en dos triángulos rectángulos ADC y BDC, la altura DC resulta ser el cateto opuesto a los ángulos dados de 46° y de 32° respectivamente

Por tanto si hallamos empleando la ley del seno cualquiera de las longitudes de las colinas habremos hallado las hipotenusas de los dos triángulos rectángulos

En donde el cateto opuesto que equivale a la altura es el mismo para ambos triángulos

Por lo tanto basta con hallar la longitud de una de las laderas -hipotenusa de un triángulo rectángulo- hasta el vértice donde convergen las dos laderas para hallar luego la altura empleando la razón trigonométrica seno

Luego podemos determinar nuestra incógnita de dos maneras posibles donde arribaremos al mismo resultado

Donde antes debemos hallar el valor del tercer ángulo del triángulo oblicuángulo

Determinamos el valor del tercer ángulo C al cual denotamos como γ  

Por enunciado sabemos dos de los valores de los ángulos del triángulo oblicuángulo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 32^o+ 46^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 32^o- 46^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 102^o }}$

El valor del ángulo C (γ) es de 102°

Alternativa 1

Hallamos la longitud del lado AC (b) -Ladera Izquierda-

$\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(B ) } = \frac{c}{sen(C)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(32 )^o } = \frac{ 28.3 \ m }{sen(102)^o } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 28.3 \ m \ . \ sen(32 )^o }{sen(102)^o } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 28.3\ m \ . \ 0.5299192642332}{ 0.9781476007338 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 14.996715177799 }{ 0.9781476007338 }\ m }}$

$\large\boxed { \bold { b \approx 15.33 \ m }}$

Conocido el valor de la hipotenusa hallamos el valor del cateto opuesto en ADC para determinar la altura del puente

Planteamos

$\boxed { \bold { sen(46)^o = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(46)^o = \frac{altura \ puente }{distancia\ b } }}$

$\boxed { \bold {altura \ puente = distancia \ b \ . \ sen(46)^o }}$

$\boxed { \bold { altura \ puente= 15.33\ m \ . \ sen(46)^o }}$

$\boxed { \bold {altura \ puente = 15.33\ m \ . \ 0.7193398003386 }}$

$\large\boxed { \bold {altura \ puente= 11.03 \ metros }}$

Alternativa 2

Hallamos la longitud del lado BC (a) -Ladera derecha-

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(C)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(46 )^o } = \frac{ 28.3 \ m }{sen(102)^o } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 28.3 \ m \ . \ sen(46 )^o }{sen(102)^o } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 28.3\ m \ . \ 0.7193398003386 }{ 0.9781476007338 } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 20.357316349583 }{ 0.9781476007338 }\ m }}$

$\large\boxed { \bold { a \approx 20.81 \ m }}$

Conocido el valor de la hipotenusa hallamos el valor del cateto opuesto en BDC para determinar la altura del puente

Planteamos

$\boxed { \bold { sen(32)^o = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(32)^o = \frac{altura \ puente }{distancia\ a } }}$

$\boxed { \bold {altura \ puente = distancia \ a \ . \ sen(32)^o }}$

$\boxed { \bold { altura \ puente= 20.81\ m \ . \ sen(32)^o }}$

$\boxed { \bold {altura \ puente = 20.81\ m \ . \ 0.5299192642332 }}$

$\large\boxed { \bold {altura \ puente= 11.03 \ metros }}$

Concluyendo que conocida el valor de una hipotenusa de cualquiera de los triángulos rectángulos que se conforman, basta con hallar la altura en uno de ellos para determinar la altura del puente