Question

Utilizando la ley de cosenos determina la medida medida del ángulo que se indica en el inciso:​

Answer 1

La medida del lado faltante del triángulo es de 10.4 unidades

Para este problema se pide determinar el lado del triángulo denotado como x2 utilizando la ley de cosenos  

Donde

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Luego aplicaremos la ley de cosenos también llamado el teorema del coseno

Solución

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Hallamos el lado faltante del triángulo

$\bold{ x_{2} = c }$

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c^{2} =( 4 \ u)^{2} + (14 \ u)^{2} - 2 \ . \ 4 \ u \ . \ 14 \ u \ . \ cos(22^o ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 16 \ u^{2} + 196 \ u^{2} - 112 \ u^{2} \ . \ cos(22^o) }}$

$\boxed {\bold {c^{2} = 212\ u^{2} - 112 \ u^{2} \ . \ 0.9271838545667 }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 212\ u^{2} - 103.84 \ u^{2} }}$

$\boxed {\bold {c^{2} =108.16 \ u^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{108.16 \ u^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{ 108.16 \ u^{2} } }}$

$\large\boxed {\bold { c =10.4\ u}}$

La medida del lado faltante del triángulo es de 10.4 unidades

Se adjunta gráfico