Question

el producto de los cuatros términos de una proporción geométrica continua es 1296 ; la suma de los extremos es 13 . hallar el mayor de los extremos .
A) 3 B) 4 C) 5 D)9 E) 8

Answer 1

Sean los términos de la proporción geométrica:
a,b,c,d

a*b*c*d= 1296
a+d= 13

Recordemos que el extremo derecho no tiene que ser necesariamente mayor.
Recordando que para toda serie geométrica hay un factor de progresión:
Sea "r" tal factor:

a* a(r) * a(r²)* a (r³) = 1296
a+  a (r³) =  13

Resolviendo:
I)  a⁴r⁶ = 1296
II) a(1+ r³) = 13

a⁴r⁶ = 1296
(r³)² = 1296/((a)²)²
Extrayendo raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad:
√(r³)² = √(1296/((a)²)²)
Ir³I = √(1296)/√(((a)²)²)
Ir³I = 36/Ia²I
como a² ≥ 0, Ia²I = a²

Reemplazamos en la segunda ecuación:
a(1+ r³) = 13
a(1+ 36/a²) = 13
a + 36/a = 13
a² + 36 = 13a
a² - 13a + 36 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática:
a² - 13a + 36 = 0
(a-9)(a-4) = 0
a-9=0
a=9

a-4=0
a=4

Para el caso de a=9:
r³ = 36/81 ≥ 0
El otro extremo esta definido por:
a (r³) = 9(36/81) = 4

Para el caso de a=4:
r³ = 36/16 ≥ 0
El otro extremo esta definido por:
a (r³) = 4(36/16) = 9

En cualquiera de los dos casos, tanto como para la progresión ascendente como la descendente, el extremo mayor es 9.
Notese además que r≥0 en los dos casos, por ende cumple la condición del valor absoluto.

Respuesta:
D) 9