Demostrar que : x^2+5y^2+5x+25y=100 es la ecuación de una elipse y determine: Centro Focos Vértices
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1
X² + 5Y² + 5X + 25Y = 100
Completamos cuadrados
X² + 5X = X² + 5X + (2.5)² - (2.5)²
(X² + 5X + 6.25) - 6.25
(X + 2.5)² - 6.25
Para Y
5Y² + 25Y = 5(Y² + 5Y)
5[(Y² + 5Y + (2.5)² - (2.5)²]
5(Y² + 5Y + 6.25) - 31.25
5(Y + 2.5)² - 31.25
Reescribimos
(X + 2.5)² - 6.25 + 5(Y + 2.5)² - 31.25 = 100
(X + 2.5)² + 5(Y + 2.5)² = 100 + 6.25 + 31.25
(X + 2.5)² + 5(Y + 2.5)² = 137.5: Divido Toda la expresion entre 137.5
[(X + 2.5)²]/137.5 + [(Y + 2.5)²]/27.5 = 1
Ya la tengo de la forma:
![\frac{\left(x-h\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-k\right)^2}{b^2}=1 \frac{\left(x-h\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-k\right)^2}{b^2}=1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%5Cleft%28x-h%5Cright%29%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft%28y-k%5Cright%29%5E2%7D%7Bb%5E2%7D%3D1)
a² = 137.5: a = 11.726
b² = 27.5: b = 5.244
c² = a² - b²: c² = 137.5 - 27.5 = 110
c = 10.488
Centro (h,k)
-h = 2.5; h = -2.5; -k = 2.5; k = -2.5
Centro (-2.5 , -2.5)
Vertices (-2.5 +/- 11.726 , - 2.5)
V1 ( -2.5 - 11.726 , - 2.5): V1 (-14.226 , - 2.5)
V2 (-2.5 + 11.726 , - 2.5): V2 (9.226 , - 2.5)
Focos (-2.5 +/- 10.488 , - 2.5)
F1 (-2.5 - 10.488 , - 2.5): F1 (-12.988 , - 2.5)
F2 (-2.5 + 10.488, -2.5): F2 ( 7.988 , -2.5)
Centro (-2.5 , -2.5)
Vertices (-14.226 , - 2.5);(9.226 , - 2.5)
Focos (-12.988 , - 2.5);( 7.988 , -2.5)
Te anexo la grafica
Completamos cuadrados
X² + 5X = X² + 5X + (2.5)² - (2.5)²
(X² + 5X + 6.25) - 6.25
(X + 2.5)² - 6.25
Para Y
5Y² + 25Y = 5(Y² + 5Y)
5[(Y² + 5Y + (2.5)² - (2.5)²]
5(Y² + 5Y + 6.25) - 31.25
5(Y + 2.5)² - 31.25
Reescribimos
(X + 2.5)² - 6.25 + 5(Y + 2.5)² - 31.25 = 100
(X + 2.5)² + 5(Y + 2.5)² = 100 + 6.25 + 31.25
(X + 2.5)² + 5(Y + 2.5)² = 137.5: Divido Toda la expresion entre 137.5
[(X + 2.5)²]/137.5 + [(Y + 2.5)²]/27.5 = 1
Ya la tengo de la forma:
a² = 137.5: a = 11.726
b² = 27.5: b = 5.244
c² = a² - b²: c² = 137.5 - 27.5 = 110
c = 10.488
Centro (h,k)
-h = 2.5; h = -2.5; -k = 2.5; k = -2.5
Centro (-2.5 , -2.5)
Vertices (-2.5 +/- 11.726 , - 2.5)
V1 ( -2.5 - 11.726 , - 2.5): V1 (-14.226 , - 2.5)
V2 (-2.5 + 11.726 , - 2.5): V2 (9.226 , - 2.5)
Focos (-2.5 +/- 10.488 , - 2.5)
F1 (-2.5 - 10.488 , - 2.5): F1 (-12.988 , - 2.5)
F2 (-2.5 + 10.488, -2.5): F2 ( 7.988 , -2.5)
Centro (-2.5 , -2.5)
Vertices (-14.226 , - 2.5);(9.226 , - 2.5)
Focos (-12.988 , - 2.5);( 7.988 , -2.5)
Te anexo la grafica
Adjuntos:
![](https://es-static.z-dn.net/files/daf/c5dadd53d66c2fb1917e3f18fbd3f761.png)
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