Question

Demostrar que : x^2+5y^2+5x+25y=100 es la ecuación de una elipse y determine: Centro Focos Vértices

Answer 1

X² + 5Y² + 5X + 25Y = 100

Completamos cuadrados

X² + 5X = X² + 5X + (2.5)² - (2.5)²

(X² + 5X + 6.25) - 6.25

(X + 2.5)² - 6.25

Para Y

5Y² + 25Y = 5(Y² + 5Y)

5[(Y² + 5Y + (2.5)² - (2.5)²]

5(Y² + 5Y + 6.25) - 31.25

5(Y + 2.5)² - 31.25

Reescribimos

(X + 2.5)² - 6.25 + 5(Y + 2.5)² - 31.25 = 100

(X + 2.5)² + 5(Y + 2.5)² = 100 + 6.25 + 31.25

(X + 2.5)² + 5(Y + 2.5)²  = 137.5: Divido Toda la expresion entre 137.5

[(X + 2.5)²]/137.5  + [(Y + 2.5)²]/27.5  = 1

Ya la tengo de la forma:

 $\frac{\left(x-h\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-k\right)^2}{b^2}=1$

a² = 137.5: a = 11.726

b² = 27.5: b = 5.244

c² = a² - b²:  c² = 137.5 - 27.5 = 110

c = 10.488

Centro (h,k)

-h = 2.5;  h = -2.5;  -k = 2.5; k = -2.5

Centro (-2.5 , -2.5)

Vertices (-2.5 +/- 11.726 , - 2.5)

V1 ( -2.5 - 11.726 , - 2.5): V1 (-14.226 , - 2.5)

V2 (-2.5 + 11.726 , - 2.5): V2 (9.226 , - 2.5)

Focos (-2.5 +/- 10.488 , - 2.5)

F1 (-2.5 - 10.488 , - 2.5): F1 (-12.988 , - 2.5)

F2 (-2.5 + 10.488, -2.5): F2 ( 7.988 , -2.5)

Centro (-2.5 , -2.5)

Vertices (-14.226 , - 2.5);(9.226 , - 2.5)

Focos (-12.988 , - 2.5);( 7.988 , -2.5)
     
Te anexo la grafica