Question

Calcula la altura que alcanzará una cometa que vuela con un ángulo de elevación de 45° y tiene un largo de cuerda de 20 m

Procedimiento!!

Answer 1

La cometa alcanzará una altura de 10√2 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.      

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

En estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en la resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado  45-45 (por sus ángulos) o 1-1 (por sus lados)

• En este triángulo  ambos ángulos miden 45°, por lo que los dos catetos medirán igual es decir 1k, mientras que la hipotenusa medirá k √2.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC  el cual está conformado por el lado BC que equivale a la altura que alcanzará la cometa, el lado AB que representa la longitud de la cuerda, y es al mismo tiempo la longitud visual hacia la cometa con un ángulo de elevación de 45° y el lado AC que es el plano horizontal

Solución

Método 1

Razones trigonométricas

Hallamos la altura que alcanzará la cometa

Como el triángulo es notable y de 45° los 2 catetos miden lo mismo, siendo este el único triángulo rectángulo que es isósceles

Conocemos

• Longitud de la cuerda = 20 metros

• Ángulo de elevación = 45°

• Debemos hallar que altura alcanzará la cometa

Relacionamos estos datos con seno del ángulo α

$\boxed{\bold { sen(45)^o = \frac{ cateto\ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed{\bold { sen(45)^o = \frac{ altura\ cometa \ }{cuerda\ cometa } } }$

$\boxed{\bold { altura\ cometa= \ cuerda\ cometa\ . \ sen(45)^o } }$

$\boxed{\bold { altura\ cometa = 20\ metros\ . \ sen(45)^o } }$

Donde

$\boxed{\bold { sen(45)^o = \frac{\sqrt{2} }{2} } }$

$\boxed{\bold { altura\ cometa =20\ metros\ . \ \frac{\sqrt{2} }{2} } }$

$\boxed{\bold { altura\ cometa =\not 2 \ . \ 10 . \ \frac{\sqrt{2} }{\not2} \ metros } }$

$\large\boxed{\bold { altura\ cometa = 10\sqrt{2} \ metros } }$

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La longitud de la cuerda es de 20 metros

Y siendo la hipotenusa mide k√2

$\boxed{\bold {longitud\ cuerda= 20 \ metros =k\sqrt{2} }}$

Despejamos a k

$\boxed{\bold { k\sqrt{2} = 20 \ metros }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{ 20 \ metros }{\sqrt{2} } }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{ 20 }{\sqrt{2} } }}$

Luego la altura a la que vuela la cometa es el cateto opuesto al ángulo notable de 45° y medirá 1k

$\boxed{\bold {altura \ cometa \ = 1 k }}$

Reemplazamos a k

$\boxed{\bold { altura \ cometa \ = 1 \ . \ \frac{20}{\sqrt{2} } \ m }}$

$\boxed{\bold { altura \ cometa \ = \ \frac{20}{\sqrt{2} }\ . \ \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } \ m }}$

$\boxed{\bold { altura \ cometa \ = \ \frac{20\sqrt{2} }{(\sqrt{2})^{2} }\ \ m }}$

$\boxed{\bold { altura \ cometa \ = \ \frac{20\sqrt{2} }{2}\ \ m }}$

$\boxed{\bold { altura\ cometa =\not 2 \ . \ 10 . \ \frac{\sqrt{2} }{\not2} \ m } }$

$\large\boxed{\bold { altura\ cometa = 10\sqrt{2} \ metros } }$

Se arriba al mismo resultado

Concluyendo que si se tiene un triángulo notable de 45-45 y se conoce el valor de su hipotenusa, para hallar el valor de sus catetos, los cuales miden lo mismo, basta dividir la medida de la hipotenusa entre √2