Question

Demostrar que : x2 + 5y2 + 5x + 25y = 100 es la ecuación de una elipse y determine:

a. Centro
b. Focos
c. Vértices
en la imagen adjunto el problema para mejor comprension.. Gracias

Answer 1

X² + 5Y² + 5X + 25Y = 100

Completamos cuadrados para X

X² + 5X + 6.25 - 6.25 = (X² + 5X + 6.25) - 6.25 = (X + 2.5)² - 6.25 

Completamos cuadrados para Y

5Y² + 25Y = 5[Y² + 5Y + 6.25 - 6.25] = 5(Y + 2.5)² - 31.25

(X + 2.5)² + 5(Y + 2.5)² - 31.25 - 6.25 = 100

(X + 2.5)² + 5(Y + 2.5)² - 37.5 = 100

(X + 2.5)² + 5(Y + 2.5)² = 137.5: Divido toda la expresion entre 137.5

[(X + 2.5)²/137.5] + [5(Y + 2.5)²/137.5]= 1

[(X + 2.5)²/137.5] + [(Y + 2.5)²/27.5] = 1

$\frac{\left(x-h\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-k\right)^2}{b^2}=1$

- h = 2.5;  h = -2.5;  -k = 2.5;  k = 2.5

Centro (-2.5 , -2.5)

a² = 137.5 , b² = 27.5,

 $a= \sqrt{137.5}=11.726$  ;    $b= \sqrt{27.5}=5.244$ 

Vertices: [(-11.762-2.5) , -2.5] y [(+11.762 - 2.5) , -2.5]

Vertices: [-14.262 ,  -2.5] y [9.262 , - 2.5]

Focos tenemos que hallar c

c² = a² - b² = 137.5 - 27.5 = 110

$c= \sqrt{110}=10.488$

Focos: [(-10.488-2.5) , -2.5] y [(+10.488 - 2.5) , -2.5]

[-12.988 , -2.5] y [7.988  , -2.5]

Centro en (-2.5 , -2.5)
Semieje mayor = a = 11.726
Semieje menor = b = 5.244

Vertices: [-14.262 ,  -2.5] y [9.262 , - 2.5]

Focos: [-12.988 , -2.5] y [7.988  , -2.5]

Te anexo una grafica de la elipse