Question

escribe la ecuacion de la circunferencia con centro en el punto (-1,0)y que es tangente a la recta 3x+4y+12=0

Answer 1

Bueno la ecuación general de una circunferencia es la siguiente.

$(x-h)^{2} + (y-k)^{2}= r^{2}$

Tenemos el centro con coordenadas (h,k), lo único que nos falta es el radio, si te dicen que una recta es tangente a una circunferencia quiere decir que la recta corta la circunferencia en un punto, entonces para saber cuál es el radio de esa circunferencia necesitamos conocer cuál es la distancia entre el centro de la circunferencia y ese punto en el que la recta corta a la circunferencia, pero ese punto no lo sabemos, para hallarlo necesitamos conocer cuál es la distancia más corta que hay entre el centro de la circunferencia y la recta.

Hay una ecuación que yo conozco para hallar la distancia más corta de un punto a una recta, es muy útil y es la siguiente:

$\frac{|ax + by + c|}{ \sqrt{ a^{2} + b^{2} } }$

-En el numerador de la ecuación que di, va la ecuación de la recta dentro del valor absoluto.
-En el denominador de la ecuación van los coeficientes que acompañan a X & a Y al cuadrado y sumados, dentro de una raiz todo eso.

¿Cómo usar esta ecuación?, simple, simplemente debes ingresar el punto al que le quieres hallar la distancia desde esa recta y resolver.

$\frac{|3x+4y+12|}{ \sqrt{ 3^{2}+ 4^{2} } }$

Ahora ingresamos el punto al que le queremos hallar la distancia con esa recta, el cual es el centro y resolvemos.

$\frac{|3(-1)+4(0)+12}{ \sqrt{25} }$
$\frac{|-3+12|}{5} = \frac{|9|}{5} = \frac{9}{5}$

Listo, ya tenemos el centro y el radio, ahora reemplazamos todo en la ecuación de la circunferencia.

$(x-h)^{2} + (y-k)^{2}= r^{2}$
$(x-(-1))^{2} + (y-0)^{2}= ( \frac{9}{5}) ^{2}$
$(x+1)^{2} + (y)^{2}= \frac{81}{25}$

Te adjunto una imagen para que veas que la ecuación de la circunferencia que hayamos si toca la recta en un solo punto :)

Fue un placer, saludos.

Answer 2

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