Question

Derivar función segunda y graficar

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Answer 1

$\textbf{Ejercicio: }\text{ Graficar la siguiente funci\'on }f(x)=x^2-x-2\\ \\ \textbf{Desarrollo}\\ \\ 1.\texttt{ Primero hallemos los puntos extremos (si es que los}\\ \texttt{ tiene)}\\ \\ \clubsuit\textit{ Criterio de la primera derivada}\\ \\ f'(x)=2x-1\\ \\ \texttt{igualamos a cero para hallar el punto cr\'itico}\\ \\ 2x-1=0\to \boxed{x=\frac{1}{2}}$


$\clubsuit\textit{ Ahora verifiquemos si es un extremo}\\ \\ \bullet\texttt{ Cuando }x\in \left(-\infty,\frac{1}{2}\right)\texttt{ se tiene } f'(x)\ \textless \ 0~~~~~ (f \texttt{ decrece})\\ \\ \\ \bullet\texttt{ Cuando }x\in \left(\frac{1}{2},+\infty\right)\texttt{ se tiene } f'(x)\ \textgreater \ 0~~~~~ (f \texttt{ crece})\\ \\ \\ \texttt{Por lo tanto }x=\frac{1}{2}\texttt{ es un punto de m\'inimo }$


     $\sphericalangle\textit{ Observaci\'on: }\texttt{ Cuando calculamos los puntos cr\'iticos }\\ \texttt{mediante el criterio de la primera derivada estos pueden}\\ \texttt{puntos de extremos relativos, hasta que no se demuestre}\\ \texttt{que son absolutos, o inclusive no sean extremos sino de}\\ \texttt{inflexi\'on }(\texttt{como en el caso de la funci\'on }f(x)=x^3)\texttt{, el cero }\\\texttt{no es un extremo, mas es un punto de inflexi\'on.}$


$2.\textit{ Puntos de inflexi\'on}\\ \clubsuit\textit{Criterio de la segunda derivada}\\ \\ f''(x)=2\\ \\ \texttt{En este caso }f''\neq0\texttt{ lo que significa que no hay punto de }\\ \texttt{de inflexi\'on, adem\'as }f''\ \textgreater \ 0\texttt{ es decir que la gr\'afica de }f\\ \texttt{se abre hacia arriba}$


$\textbf{Resumen}\\ \\ \hspace*{2cm}\begin{array}{|c||c|c|c|} \cline{1-3}&&\\ \text{Intervalos}&\left(-\infty,\frac{1}{2}\right)&\left(\frac{1}{2},+\infty\right)\\&&\\ \cline{1-3}&&\\ \text{Monoton\'ia}&\searrow&\nearrow\\ &&\\ \cline{1-3}&&\\ \text{Concavidad}&\smile&\smile\\&&\\ \cline{1-3} \end{array}$

La gráfica abajo...