Question

2. Si: z=(a-5)+(a-2)i
a. Si “z” es real . Calcular el valor “a”
b. Si “z” es imaginario puro. Calcular el valor de “a”

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Calcula la parte real e imaginaria de

z

1 C z

2

donde z 2C n fi; i g.

Solución. Todo lo que hay que hacer es realizar las operaciones indicadas. Pongamos para ello

z D x C iy con x; y 2R. Tenemos que

z

1 C z

2

D

x  iy

1 C .x C iy/

2

D

x  iy

1 C x

2  y

2 C 2xyi

D

.x  iy/.1 C x

2  y

2  2xyi/

.1 C x

2  y

2/

2 C 4x2y

2

D

D

x C x

3  3xy2 C i.y  3x2y C y

3

/

.1 C x

2  y

2/

2 C 4x2y

2

D

D

x C x

3  3xy2

.1 C x

2  y

2/

2 C 4x2y

2

C i

y  3x2y C y

3

.1 C x

2  y

2/

2 C 4x2y

2

Luego

Re

z

1 C z

2

D

x C x

3  3xy2

.1 C x

2  y

2/

2 C 4x2y

2

; Im

z

1 C z

2

D

y  3x2y C y

3

.1 C x

2  y

2/

2 C 4x2y

2

©

2. Calcula

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

.2 C i

p

5/.1 C i

p

3/

3

p

5 C i

p

3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

.

Solución. Como lo que nos piden es el módulo no es preciso realizar las operaciones indicadas.

Basta tener en cuenta que el módulo de un producto es el producto de los módulos y, por tanto,

el módulo de un cociente es el cociente de los módulos. En consecuencia:

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

.2 C i

p

5/.1 C i

p

3/

3

p

5 C i

p

3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

D

ˇ

ˇ2 C i

p

5

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ1 C i

p

3

ˇ

ˇ

3

ˇ

ˇ

p

5 C i

p

3

ˇ

ˇ

D 6

p

2

©

3. Calcula los números complejos z tales que w D

2z  i

2 C iz

es

a) Un número real;

b) Un número imaginario puro.

Solución. Pongamos z D x C iy con x; y 2R. Tenemos que

w D

2x C i.2y  1/

2  y C ix

D

.2x C i.2y  1//.2  y  ix/

.2  y/

2 C x

2

D

3x C i.2x2  2y2 C 5y  2/

.2  y/

2 C x

2

Por tanto, w es real si, y sólo si

2x2  2y2 C 5y  2 D 0 ” x

2 C .y  5=4/

2 D 9=16

Es decir, z está en la circunferencia de centro .0; 5=4/ y radio 3=4.

Análogamente, w es imaginario puro si, y sólo si, x D 0,