se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuando iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado que recortar para que el volumen de la caja sea máxima? ¿Cuál es el volumen de la caja?
Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Llamemos x el valor del lado que recortamos en cada esquina del la cartulina
Luego el lado que medía a se convierte en la caja
de lado= x-2a con altura de valor x (ver gráfica anexa)
y su volumen
V= area de la base x altura
V= ( a − 2 x )² ⋅ x
V=(a²-4ax+4x²).x
V=a²x-4ax²+4x³
Este Volumen es lña función que vamos a maximizar
Luego hallamos la primera derivada para encontrar los puntos criticos
dV / dx =12x²-8ax+a² = ( 2 x − a )( 6 x − a )
ahora hallamos los puntos críticos dónde la primera derivada es =0
Luego
( 2 x − a )( 6 x − a )=0
( 2 x − a ) =0 o ( 6 x − a )=0
Luego
x= a/2
o
x=a/6
Y miramos para que punto de los hallados hay un máximo
Utilizamos la segunda derivada
V''=24x-8a
V'' (a/2) =24 (a/2)-8a
=12a-8a =4a >0 (hay un mínimo )
V''(a/6) =24(a/6)-8a
=4a-8a =-4a<0 (hay un máximo)
Luego el Volumen máximo se obtiene cortando cuadrados de lado x=a/6
luego el volumen es
V= ( a − 2 x )² ⋅ x
Para x=a/6
V=[a-2(a/6)]².(a/6)
V= (a-a/3)².(a/6)
V=(3a-a /3)².(a/6)
V= (2a/3)².(a/6)
V= 4a²/9 . a/6
V=2a³/27
V=2/27 a³
Este es el Volumen máximo de la caja
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