Question

se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuando iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado que recortar para que el volumen de la caja sea máxima? ¿Cuál es el volumen de la caja?

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Llamemos x el valor del lado que recortamos en cada esquina del la cartulina

Luego el lado que medía a se convierte en la caja

de lado= x-2a   con altura de valor x  (ver gráfica anexa)

y  su volumen

V= area de la base x altura

V= ( a − 2 x )² ⋅ x

V=(a²-4ax+4x²).x

V=a²x-4ax²+4x³

Este Volumen es lña función que vamos a maximizar

Luego hallamos la primera derivada para encontrar los puntos criticos

dV / dx =12x²-8ax+a²  = ( 2 x − a )( 6 x − a )

ahora hallamos los puntos críticos dónde la primera derivada es =0

Luego

( 2 x − a )( 6 x − a )=0

( 2 x − a ) =0     o    ( 6 x − a )=0

Luego

x= a/2

o

x=a/6

Y miramos para que punto  de los hallados hay un máximo

Utilizamos la segunda derivada

V''=24x-8a

V'' (a/2) =24 (a/2)-8a

=12a-8a =4a >0  (hay un mínimo )

V''(a/6) =24(a/6)-8a

=4a-8a =-4a<0  (hay un máximo)

Luego el Volumen máximo se obtiene cortando cuadrados de lado   x=a/6

luego el volumen es

V= ( a − 2 x )² ⋅ x

Para x=a/6

V=[a-2(a/6)]².(a/6)

V= (a-a/3)².(a/6)

V=(3a-a /3)².(a/6)

V= (2a/3)².(a/6)

V= 4a²/9 . a/6

V=2a³/27

V=2/27 a³

Este es el Volumen máximo de la caja