Question

1. Averigua el logaritmo de las siguientes
expresiones, aplicando las propiedades:
a) log2 (64 × 16) =
b) log2 4⁻⁴ =
c) log3 9/27=
d) log3 ∛49 =
e) log (⁴√3/20 × 52² × √15) =

2. Expresa las siguientes sumas algebraicas de logaritmos como el logaritmo de una sola
expresión:
a) log − 2 log =
b) 1/3 log − 3 log + 5 log =
c) 3 log − 1/5 (log + 3 log ) =

3. Analiza la situación problemática y luego resuelve, aplicando logaritmos. Una ciudad tiene en la actualidad una población de 2 354 478 habitantes. ¿En cuántos años llegará a tener 3 164 222 habitantes si la tasa de crecimiento anual es del 3%?

Answer 1

Explicación paso a paso:

dame,,♥️

iakakiaa

Answer 2

En aproximadamente  9,85  años la ciudad tendrá 3 164 222  habitantes.

Explicación paso a paso:

Logaritmo en una cierta base es una operación matemática contraria a una exponencial en esa misma base. De aquí que la definición de un logaritmo se asocia de manera obligatoria a la existencia de una operación de potencia.

A partir de esa definición se desprenden propiedades que se aplican en el cálculo de logaritmos.

En anexo se encuentran varias de esas propiedades, las cuales aplicaremos a continuación:

$\bold{1a)\qquad Log_2(64\cdot16)~=~Log_2(2^6)~+~Log_2(2^4)~=~8~+~4~=~12}$

$\bold{1b)\qquad Log_2(4^{-2})~=~Log_2(2^{2\cdot(-2)})~=~Log_2(2^{-4})~=~-4}$

$\bold{1c)\qquad Log_3(\dfrac{9}{27})~=~Log_3(\dfrac{1}{3})~=~Log_3(3^{-1})~=~-1}$

$\bold{1d)\qquad Log_3(\sqrt[3]{49})~=~Log_3(\sqrt[3]{7^2})~=~(\dfrac{2}{3})\cdot Log_3(7)}$

$\bold{1e)\qquad Log[(\sqrt[4]{\dfrac{3}{20}})\cdot(52^2)\cdot(\sqrt{15})]~=~Log(\sqrt[4]{\dfrac{3}{20}})~+~Log(52^2)~+~Log(\sqrt{15})~\Rightarrow}$

$\bold{1e)~=~(\dfrac{1}{4})\cdot Log({\dfrac{3}{2^2\cdot5}})~+~Log[(2^2\cdot13)^2]~+~(\dfrac{1}{4})\cdot Log({3\cdot5})\quad\Rightarrow}$

$\bold{1e)~=~\dfrac{1}{4}Log(3)-\dfrac{1}{4} Log(2^2)-\dfrac{1}{4} Log(5)+Log[2^4\cdot13^2]+(\dfrac{1}{4}) Log({3\cdot5})\quad=}$

$\bold{\dfrac{1}{4} Log(3)-\dfrac{1}{2} Log(2)-\dfrac{1}{4} Log(5)+4 Log(2)+2 Log(13)+\dfrac{1}{4} Log(3)+\dfrac{1}{4} Log(5)~\Rightarrow}$

$\bold{Log[(\sqrt[4]{\dfrac{3}{20}})\cdot(52^2)\cdot(\sqrt{15})]~=~(\dfrac{7}{2})\cdot Log(2)~+~(\dfrac{1}{2})\cdot Log(3)~+~(2)\cdot Log(13)}$

$\bold{2a)\qquad Log_a(M)~-~2\cdot Log_a(N)~=~Log_a(M)~-~Log_a(N^2)~=~Log_a(\dfrac{M}{N^2})}$

$\bold{2b)\qquad (\dfrac{1}{3})\cdot Log_a(W)~-~3\cdot Log_a(X)~+~5\cdot Log_a(Y)\qquad\Rightarrow}$

$\bold{(\dfrac{1}{3}) Log_a(W)-3 Log_a(X)+5 Log_a(Y)=Log_a(\sqrt[3]{W})+Log_a(Y^5)-Log_a(X^3)~\Rightarrow}$

$\bold{(\dfrac{1}{3}) Log_a(W)~-~3 Log_a(X)~+~5 Log_a(Y)~=~Log_a(\dfrac{\sqrt[3]{W}\cdot Y^5}{X^3})}$

$\bold{2c)\qquad (3)\cdot Log(A)~-~(\dfrac{1}{5})\cdot[Log(B)~+~(3)\cdot Log(C)]\qquad\Rightarrow}$

$\bold{3 LogA~-~\dfrac{1}{5}(LogB~+~3LogC)~=~Log(\dfrac{A^3}{\sqrt[5]{B\cdot C^3}})}$

3.  El modelo de crecimiento exponencial plantea la siguiente expresión:

$\bold{p_{(t)}~=~P_o\cdot e^{k\cdot t}}$

donde

P    es la población en un tiempo cualquiera

Po    es la población inicial

k    es la tasa de crecimiento por unidad de tiempo

t    es el tiempo

En el caso estudia:

Po  =  2 354 478 habitantes

P(t)  =  3 164 222 habitantes

k  =  0,03  (3%)

Sustituyendo

$\bold{3164222~=~2354478\cdot e^{(0,03)\cdot t}}$

De aquí se despeja tiempo usando logaritmo (Ln) cuya base es el número e (Ln  =  Log e)

$\bold{3164222~=~2354478\cdot e^{(0,03)\cdot t}\quad\Rightarrow\quad\dfrac{3164222}{2354478}~=~e^{(0,03)\cdot t}\quad\Rightarrow}$

$\bold{Ln(\dfrac{3164222}{2354478})~=~Ln(e^{(0,03)\cdot t})\quad\Rightarrow\quadLn(\dfrac{3164222}{2354478})~=~(0,03)\cdot t\quad\Rightarrow}$

$\bold{(\dfrac{1}{0,03})\cdot Ln(\dfrac{3164222}{2354478})~=~t\quad\Rightarrow\quad t~\approx~9,85}$

En aproximadamente  9,85  años la ciudad tendrá 3 164 222  habitantes.

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Logaritmos                https://brainly.lat/tarea/32545322