Question

Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por el punto (7,5) y es tangente a la circunferencia x^2+y^2+4x+16y-22=0

Answer 1

Si ya sabes la definción de derivada, sabrás que la derivada de una función representa la pendiente de la recta tangente en un punto.

entonces tenemos la función,

$x^{2} + y^{2}+4x+16y-22=0$

Entonces debemos hallar la derivada de equis respecto de ye, para eso hacemos una derivación implícita, o que es lo mismo que separar todo lo que tenga equis de un lado y todo lo tenga ye del otro lado así,

$x^{2} +4x=+22 + y^{2}+16y$

y derivamos a cada lado como de costumbre así,

$(2x+4)dx=(0+2y+16)dy \\ \\ \frac{dx}{dy}= \frac{2y+16}{2x+4} = \frac{y+8}{x+2}$

como mencionamos

$\frac{dx}{dy} =m=pendiente$

pero además ya nos dan un punto

$(7,5)=(x.y)$

entonces, reemplazamos éstos punto en la derivada que obtuvimos así,

$\frac{dx}{dy} =m= \frac{y+8}{x+2} = \frac{(5)+8}{(7)+2} = \frac{13}{9}$

ya obtuvimos la pendiente, ahora solo basta armar la ecuación de la recta, tenemos una pendiente tenemos un punto entonces,

$y- y_{1} =m(x- x_{1} ) \\ y-5= \frac{13}{9} (x-7) \\ \\ 9y-45=13x-91 \\ 13x-9y-46=0$

y esa sería la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto especificado.


Y eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas