En una proporción geométrica continúa la suma de los cuatro términos es 36 y la suma de sus consecuentes es el triple de la diferencia de consecuentes ¿Hallar el término que se repite?
Respuestas
Respuesta:
A) 16 B) 15 C) 12 D) 10 E) 14
Resolución. Las edades son a,b,c.
a/b = b/c = k→a= bk ^ b = ck entonces se puede decir que:
a = (ck)k = ck2
a + b + c = 93 Remplazando: ck2 + ck + c = 93
c(k2 + k + 1) = 93 = 3 x 31. Por lo tanto.
c = 3 y k = 5 las edades:
a= ck2 = 3(25) = 75 b = ck = 15 y c = 3
Rpta b – c = 12
17. Hallar la suma de los cuatro términos de una proporción geométrica continua, donde la suma y la diferencia de los extremos excede al término medio común en 49 y 31 unidades respectivamente.
A) 125 B) 120 C) 122 D) 121 E) 131
Resolución. a/b = b/c = k......................(1)
Por condición del problema:
(a + c) – b = 49 → (a – b) + c = 49...................(2)
(a – c) – b = 31 → (a – b) – c = 31 ..................(3)
Restando ecuaciones:
2c = 18 → c = 9
De (1) obtenemos: b2 = a . c → b2 = 9a → b = 3√a
De (2) a – b = 40 → a - 3√a = 40 → √a (√a -3) = 40= 8 x 5
Por lo tanto a = 64 entonces b = 24
Rpta: ∑ términos (64+24+24+9) = 121
18. En una proporción geométrica continua se cumple que la diferencia de los extremos es 154/4 de la media proporcional. Si la razón es un número entero mayor que la unidad, determinar la diferencia de los antecedentes si los consecuentes suman 25.
A) 66 B) 65 C) 62 D) 60 E) 64
Resolución. a/b = b/c = k de donde sabemos que:
b = ck ^ a = bk = ck. k = ck2...................................(ά)
Además: a – c = 15/4 b............................................(1)
b + c = 25...............................................(2)
Remplazando (ά) en (1) y (2)
ck2 – c = 14/4 ck → k2 – 1 = 15/4 k
ck + c = 25, de donde se obtiene que: k = 4 ^ c = 5
Por lo tanto: b = ck = 20
a = ck2 = 5(16) = 80
Rpta. Diferenc. De Antecedentes = 80 -20 = 60
19. En una progresión geométrica continua la diferencia entre el término medio y el menor de los extremos es 2 y entre el término mayor y menor es 5. Determinar la raíz cuadrada de la suma de los términos.
A) 5 B) 6 C) 8 D) 3 E) 4
Resolución. a/b = b/c = k de donde: a > b > c
b = ck ^ a = bk = ck2 Por enunciado tenemos:
b – c = 2 remplazado Valores: ck – c = 2→ c(k-1) = 2......(ά)
a – c = 5 remplazado Valores ck2 – c = 5→ c(k2-1) =5......(β)
Operando(β) y remplazando (ά)
C(k+1)(k-1) =5 → 2(k+1) = 5→ k = 5/2 - 1→ k = 3/2
Remplazando k en (ά)
c(3/2 -1) = 2→ c(1/2) = 2→ c = 4
b = ck = 4(3/2) = 6
a = ck2 = 4(3/2)2 = 9
∑ terminos(9+6+6+4) = 25
Rpta. √25 = 5
20. La suma de dos números es 294 y cuando se le agrega 65 a cada uno de ellos la razón es 3/5. Hallar el número mayor.
A) 165 B) 160 C) 200 D) 220 E) 210
Resolución.
A + B = 294.........................................(1)
(A + 65)/(B +65) = 3/5
5A + 325 = 3B + 195
130 = 3B – 5A.......................................(2)
Operando (1) y (2)
3B – 5A = 130 → 3B – 5A = 130
(5)B + A = 294(5)→ 5B + 5A = 1470 Operando
8B = 1600 → B = 200
A = 94
Rpta: Num. Mayor = B = 200
21. Se tiene una caja con polos blancos y rojos. Si se sacan 20 polos rojos, la relación de los polos de la caja es de 7 blancos por 3 rojos. Si en seguida se sacan 100 polos blancos, la relación es 2 rojos por 3 blancos. ¿Cuantos polos había al inicio en la caja?
A) 540 B) 250 C) 420 D) 620 E) 580
Resolución. B = Polos Blancos; R= Polos Rojos
Caja = B + R
B/(R – 20) = 7/3→B = 7/3 (R-20)
(R – 20 )/(B – 100) = 2/3
3R – 60 = 2B – 200 → 3R = 2B - 140
3R = 2((7R – 140)/3) -140
3R = (14R – 280)/3 -140; Sacando MCM
9R = 14R -280 – 420
5R = 700 → R = 140
Entonces: B = 7/3(R -20) = 7/3(120) = Rpta = 280
∑ Poloss = 140 + 280 = 420
22. En una proporción geométrica discreta, la suma de los medios es 19 y la suma de los extremos es 21. Calcular el mayor de los términos de dicha proporción, si la suma de los cuadrados de los cuatro términos es 442.
A) 11 B) 15 C) 12 D) 10 E) 14
Resolución. Sean las proporciones a/b = c/d
ad = bc ........................................................ά
b + c = 19 .....................................................β
a + d = 21 ......................................................θ
a2 + b2 + c2 + d2 = 442 ..................................σ
Elevando al cuadrado β y θ y sumando ambos tenemos:
b2 + c2 +2bc = 361
a2 + d2 + 2ad = 441 sumando tenemos
a2 + b2 + c2 + d2+ 2ad + 2bc = 802
442 + 2ad + 2bc = 802
2(ad + bc) = 360 →ad + bc = 180 como ad0 bc
Entonces: ad = bc = 90
Resolviendo: a . d = 90
a + d = 21 → a = 15, d = 6
b . c = 90
b + c = 19 → b = 10; c = 9
Explicación paso a paso: