Question

Un automóvilista observa una montaña desde los puntos ubicados a lo largo de un tramo recto de carretera. La primera visual forma un ángulo de 39°50' , estando la carretera al frente . A una distancia de 50 km dese el primer punto , la visual forma un ángulo de 77°20' con el camino ¿cuanto dista la montaña del segundo punto de observación?

Answer 1

Hay que dibujarse la situación del coche y la montaña para poder verlo bien. Ahí te lo adjunto en una imagen hecha con Excel.

Lo primero es que entiendas el dibujo que está hecho de acuerdo al texto del ejercicio el cual está enfocado a que practiques la función trigonométrica de la tangente que relaciona los dos catetos en cualquier triángulo rectángulo que son las figuras que se forman ahí: los triángulos ABC y ABD.

El objetivo es hallar la distancia BC, ok? 
Antes que nada hay que transformar al sistema decimal las medidas de los dos ángulos que vienen en sistema sexadecimal (grados y minutos)

Para ello sólo hay que dividir los minutos entre 60 que tiene un grado y así lo convertimos a decimales de grado.

50' = 50/60 = 0,83 (decimal periódico puro donde se repite el 3)
39º 50'  =  39,83º

20' = 20/60 = 0,33 (decimal periódico puro donde se repite el 3)
77º 20' = 77,33º

Apoyándome en la fórmula de la tangente que dice:
$Tg. \alpha = \frac{Cat.opuesto}{Cat.contiguo}$

Tengo que el cateto opuesto a los ángulos que me dan siempre será el mismo, es decir, LA ALTURA de la montaña, por tanto hay que usar la fórmula para construir un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, una de ellas será la ALTURA y la otra será el dato que nos pide el ejercicio, o sea, la distancia "x" (segmento BC).

Obtengo con calculadora las tangentes de los dos ángulos:
Tg 39,83º   =   0,83
Tg 77,33º   =   4,44

Fíjate en este detalle:
En el triángulo ABC, el cateto contiguo es "x"
En el triángulo ABD, el cateto contiguo es "50+x" ... ok?

Aplico la fórmula de la tangente a los dos triángulos con esos datos:

Para el triángulo ABD:
Tg 39,83 (0,83) = $\frac{Altura}{50+x}$ despejando la altura...

$Altura = (50+x)*0,83 = 41,5+0,83x$

Para el triángulo ABC:
Tg 77,33  (4,44) = $\frac{Altura}{x}$ ... despejando la altura...

$Altura = 4,44*x=4,44x$

En una parte de las ecuaciones tenemos la altura despejada, por igualación se resuelve el sistema:

$41,5+0,83x = 4,44x \\ \\ 41,5=3,61x \\ \\ x= \frac{41,5}{3,61} =11,5$

Respuesta: la montaña dista 11,5 km. del 2º punto de observación.

Saludos.