Question

A una caja cuadrada de 18 pulgadas se le recortan las cuatro esquinas para poder construir una caja sin tapa. Hallar las dimensiones de la caja para obtener el máximo volumen

Answer 1

Se forma una caja de base cuadrada de 18 - 2 x de base y x de altura. Su volumen es:

V = (18 - 2 x)² x; quitamos el paréntesis:

V = 4 x³ - 72 x² + 324 x

El valor máximo se encuentre en el punto en que su derivada primera es nula y la segunda es negativa.

V ' = 12 x² - 144 x + 324

V '' = 24 x - 144

V ' = 12 x² - 144 x + 324 = 0; ecuación de segundo grado en x

Sus raíces son x = 3, x = 9

Para x = 3; V '' = 24 . 3 - 144 = - 72, negativa, corresponde con máximo.

Para x = 9 el volumen es nulo

El valor máximo de V es:

V = 4 . 3³ - 72 . 3² + 324 . 3 = 432 pulgadas cúbicas.

La caja tiene una base cuadrada de 18 - 2 . 3 = 12 pulg de lado y de 3 pulg de altura

Se adjunta gráfico con las escalas adecuadas para una mejor vista.

Saludos Herminio