Una fábrica de margarina vende su producto en barras que tienen forma de un prisma de base cuadrada cuyo volumen es de 108 cm3 . Determina las dimensiones de la barra que minimizar la cantidad de papel de envoltura ( las dimensiones con las que gastaría menos papel)
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Respuestas
v=x^2y
At=4xy+2x^2
108=x^2y
108/x^2=y
At=4x (108/x^2) +2x^2
At=4(108/x) +2x^2
At= 432x^-1+2x^2
At´=-432x^-2+4x
0=-432x^-2+4x
0=-432/x^2+4x
-4x=-432/x^2
-4x(x^2)=-432
x^3=-432/4
x^3=-108
x=4.7622
108=(4.7622)^2y
108/(4.7622)^2=y
y=4.7622
Las dimensiones con las que gastaría menos papel son:
x = 4.7622 cm ; y = 4.7622 cm
Solución
El volumen de este prisma rectangular, viene dado por:
V( x, y) = x² y
En este caso, nuestra condición es que el volumen sea de 108 cm³
⇒ x² y = 108
Lo que se desa minimizar es la cantidad de papel de envoltura, es decir, tenemos que minimizar la superficie total. La superficie total de este prisma es igual a la suma de las areas de cada cara, esto es:
At = x² + x² + xy + xy + xy + xy
At (x,y) = 2x² + 4xy ( funcion a optimizar)
De la condición, despejamos y: y = 108/ x²
Sustituyendo en At:
At( x) = 2x² + 4x (108/ x²)
At(x) = 2x² + 432 / x
Luego, para hallar los puntos criticos, derivamos la funcion y la igualamos a 0:
At ' ( x ) = 4x - 432 / x² = 0
multiplicamos todo por x² y despejamos:
4 x³ = 432 ⇒ x = ∛(432/4) = ∛108 ≈ 4.7622 cm
Luego, sustituimos el valor de x para obtener y
y = 108 / x² = 108 / (4.7622)² ≈ 4.7622 cm
Concluimos que las dimensiones con las que se gastaría menos papel son:
x = 4.7622 cm ; y = 4.7622 cm
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