Question

Una fábrica de margarina vende su producto en barras que tienen forma de un prisma de base cuadrada cuyo volumen es de 108 cm3 . Determina las dimensiones de la barra que minimizar la cantidad de papel de envoltura ( las dimensiones con las que gastaría menos papel)

Answer 1

v=x^2y

At=4xy+2x^2

108=x^2y

108/x^2=y

At=4x (108/x^2) +2x^2

At=4(108/x) +2x^2

At= 432x^-1+2x^2

At´=-432x^-2+4x

0=-432x^-2+4x

0=-432/x^2+4x

-4x=-432/x^2

-4x(x^2)=-432

x^3=-432/4

x^3=-108

x=4.7622

108=(4.7622)^2y

108/(4.7622)^2=y

y=4.7622

Answer 2

Las dimensiones con las que gastaría menos papel son:

x = 4.7622 cm    ;  y = 4.7622 cm

Solución

El volumen de este prisma rectangular, viene dado por:

                                              V( x, y)  = x² y

En este caso, nuestra condición es que el volumen sea de 108 cm³

                                                   ⇒  x² y  =  108

Lo que se desa minimizar es la cantidad de papel de envoltura, es decir, tenemos que minimizar la superficie total. La superficie total de este prisma es igual a la suma de las areas de cada cara, esto es:

                                         At =  x² + x² + xy + xy + xy + xy

                                          At (x,y)  =  2x² + 4xy ( funcion a optimizar)

De la condición, despejamos y:     y = 108/ x²

Sustituyendo en At:

                                   At( x) = 2x² +  4x (108/ x²)

                                    At(x) = 2x² + 432 /  x

Luego, para hallar los puntos criticos, derivamos la funcion y la igualamos a 0:

                              At ' ( x ) =  4x  - 432 / x²  =  0

multiplicamos todo por x² y despejamos:

                                 4 x³ =  432 ⇒   x = ∛(432/4) = ∛108 ≈ 4.7622 cm

Luego, sustituimos el valor de  x para obtener y

  y = 108 / x²  = 108 / (4.7622)²  ≈ 4.7622 cm

Concluimos que las dimensiones con las que se gastaría menos papel son:  

    x = 4.7622 cm    ;  y = 4.7622 cm

 

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