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Respuesta: NÚMEROS COMPLEJOS.
C.1 Noción de número complejo.
En el Cálculo nos encontramos que ecuaciones como: x² + 4 = 0, no tienen solución en los dominios de R (conjunto de números reales). Un modo de superar esta limitación es definir un super-conjunto C que englobe al conjunto R, pero que abarque también a números más generales, los llamados números complejos, que puedan ser soluciones de ecuaciones como la de arriba.
* Unidad imaginaria: Se define unidad imaginaria, representada por i, como aquel 'número' de C tal que: i²=-1, o también expresado (de forma mnemotécnica):
De esta manera la ecuación x² + 4 = 0, se solucionaría así:
* Número complejo: La forma general (forma binómica) es:
a + bi
es decir, un número complejo está formado por dos números reales, a y b, llamadas:
a: parte real
b: parte imaginaria
por ejemplo: 5 - 7 i, -4 + 8 i, ½ + ¾ i.
C.2 El cuerpo C de los números complejos
En el conjunto C de los números complejos se definen las dos operaciones internas, + y . , cuyo funcionamiento es como sigue:
Suma: se suman partes reales y partes imaginarias por separado, es decir:
Producto: se multiplican según la regla aritmética:
NOTA: Este último resultado puede obtenerse mediante un producto aritmético:
1. (C, +) tiene estructura de grupo abeliano aditivo, donde 0 + 0 i es el elemento neutro, y cualquier elemento, a + bi, tiene su opuesto, el -a - bi.
2. (C, . ) tiene estructura de grupo abeliano aditivo, donde 1 + 0 i es el elemento neutro, y cualquier elemento, a + bi, tiene su inverso, el .
3. Además la operación "." es distributiva respecto de la "+", lo que signitica que (C,+,.) represente un cuerpo conmutativo.
C.3 Representación según el diagrama de Argand.
Sea un número complejo cualquiera, z=a+bi, existe una representación sobre un plano (llamado diagrama de Argand), en el que sobre dos ejes perpendiculares -como se muestra en la figura- se coloca sobre el eje horizontal (eje real) la parte real de z, a, y sobre el eje vertical (eje imaginario) la parte imaginaria de z, b, se trazan sendas paralelas a los ejes (líneas punteadas en la figura) y su punto de corte es la punta del fasor z.
(NOTA: Se llama fasor a un vector cuyo punto de aplicación es fijo, en el caso de números complejos éste es el origen).
Explicación paso a paso:si es real ok