Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L1:x−2=y−12=z+4−3 y que además es perpendicular al plano generado por los puntos P(1;−2;4);Q(−3;2;1);R(−2;3;3)
Respuestas
La ecuación del plano que contiene la recta L₁ y además es perpendicular al plano generado por los puntos P, Q y R es:
π: x - 25y - 17z - 45 = 0
¿Qué es un vector?
Es un segmento de recta que tiene las siguientes características por tener módulo, dirección y sentido. Se obtiene de la diferencia de dos puntos o por el producto de su módulo y ángulo.
V = P₂ - P₁
o
V = (|V|, α)
¿Qué es el producto vectorial?
Es una operación matricial entre vectores que da como resultado un vector perpendicular a los dos vectores a los que se le aplique.
¿Qué es un plano?
Un plano se caracteriza por tener dos dimensiones y contener infinitos puntos y rectas.
La ecuación de un plano: π: N[(x, y, z) - (a, b, c)] = 0
Siendo;
- N: normal del plano
- (x, y, z) - (a, b, c): vector genérico
⇒ Ecuación general del plano π: Ax + By + Cz + D = 0
¿Cuál es la ecuación del plano que contiene la recta L₁ y además es perpendicular al plano generado por los puntos P, Q y R?
La normal del plano se obtiene con el producto vectorial del vector director de la recta L₁ y la normal del plano que contiene los puntos P, Q y R.
V = (1, 2, -3)
La normal del plano que contiene los puntos:
- PQ = (-3-1; 2+2; 1-4) = (-4, 4, -3)
- PR = (-2-1; 3+2; 3-4) = (-3, 5, -1)
Aplicar producto vectorial;
PQ×PR = [i(-4+15) - j(4-9) + k(-20+12)]
PQ×PR = (11i + 5j - 8k)
PQ×PR = (11, 5, -8)
Aplicar producto vectorial;
N = i(-16 + 15) - j(-8 + 33) + k(5 - 22)
N = (-i -25j - 17k)
Vector genérico;
AB = (x - 2; y - 1; z + 4)
Sustituir;
π: (1, -25, -17)(x-2; y-1; z+4) = 0
π: x - 2 - 25y + 25 - 17z - 68 = 0
π: x - 25y - 17z - 45 = 0
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