Se desea cercar un terreno utilizando 200 m de rollo de tela de alambre, el terreno cercado debe quedar en forma cuadrada o rectangular. Determine las dimensiones del terreno de tal manera que el área cercada sea máxima.
Respuestas
Así, Largo = x
Ancho = 220 – x
220 – x 220 – x
x
El área A del rectángulo está dada por el producto de sus dimensiones (base por altura o largo por ancho), así que tendremos el área en función de x como: A = x(220 – x)
ó bien
A = 220x – x²
La ecuación anterior la identificamos fácilmente como una función cuadrática, con a = -1, b = 220 y c = 0 , que representa una parábola cóncava hacia abajo (pues a = -1), así que su vértice será el punto máximo de la función. De modo que nuestro problema es equivalente al de encontrar el vértice de la parábola.
El vértice está en .
Interpretamos esto diciendo que A, alcanza su valor máximo para x = 110, por lo tanto la solución buscada a nuestro problema es que el largo debe medir 110 mts y por tanto el ancho 220 – 110 = 110 mts.
Respuesta:
Llamemos x a la longitud de uno de sus lados. Como disponemos solamente de 200 m de alambre, el perímetro debe ser 200m y por tanto el semiperímetro (medio perímetro) debe ser de 220, de modo que si uno de los lados del terreno mide x, el otro deberá medir 220 – x.
Así, Largo = x
Ancho = 220 – x
220 – x 220 – x
x
El área A del rectángulo está dada por el producto de sus dimensiones (base por altura o largo por ancho), así que tendremos el área en función de x como: A = x(220 – x)
ó bien
A = 220x – x²
La ecuación anterior la identificamos fácilmente como una función cuadrática, con a = -1, b = 220 y c = 0 , que representa una parábola cóncava hacia abajo (pues a = -1), así que su vértice será el punto máximo de la función. De modo que nuestro problema es equivalente al de encontrar el vértice de la parábola.
El vértice está en .
Interpretamos esto diciendo que A, alcanza su valor máximo para x = 110, por lo tanto la solución buscada a nuestro problema es que el largo debe medir 110 mts y por tanto el ancho 220 – 110 = 110 mts.
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Explicación paso a paso: