Question

Si {xₙ} es una sucesión creciente, se tiene que la sucesión es convergente si y solo si esta acotada superiormente, en cuyo caso

Lim xₙ = Sup {xₙ : n ∈ N} = Sup(xₙ) n ∈ N
n⇒∞

Por favor ayuda con la prueba

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

                        Sucesiones

Antes de ir a la prueba, vamos a recordar algunas definiciones y enunciemos algunos "ingredientes" que nos serán de utilidad:

                          Sucesión creciente

Una sucesión {aₙ} de números reales es creciente si:

                        $a_{n}$ ≤ $a_{n+1}$       ∀ n ∈ N

Es decir, si hay siempre un termino que sea mayor o igual que el anterior, entonces la sucesión se dice que es creciente

Ej:  {aₙ}= n     es creciente, ya que 1 ≤ 2 ≤ 3...

                   Sucesión convergente

Una sucesión {aₙ} converge a L ∈ R, cuando para cualquier ε > 0, va a existir un n₀ ∈ N  tal que

              ║aₙ- L║< ε   ; ∀ n ≥ n₀    

Es decir una sucesión se va a aproximar a L, cuando para todo ε > 0 arbitrario, encontremos un numero (n₀) a partir del cual la distancia entre los terminos de la sucesión y su limite, sea menor que epsilon

                       Sucesión acotada superiormente

Una sucesión {aₙ} esta acotada superiormente si existe un numero real K tal que:  

         aₙ ≤ K    

Ahora debemos enunciar algunos teoremas que nos servirán para la prueba:

Teorema 1: Toda sucesión convergente esta acotada

Teorema 2: Sea  S ⊆ R,  denotemos con "s" a una cota superior de S. Entonces   s= Sup(S) si y solo si:      ∀ ε > 0,   ∃ a ∈ S:    

                      s - ε < a ≤ s

Es decir s - ε no puede ser una cota superior del conjunto S

Omitimos la demostración de los teoremas

Como tenemos un "si y solo si", debemos probar primero la ida, es decir: "Si {xₙ} es convergente, entonces esta acotada superiormente"

Luego la vuelta: "Si {xₙ} esta acotada superiormente, entonces es convergente"

                              Demostración

Sea {xₙ} una sucesión creciente:

⇒) Supongamos que {xₙ} es convergente. Por Teorema 1, la sucesión estará acotada superiormente (pues la definición de sucesión acotada implica que sea tanto superior como inferiormente)

⬅️) Supongamos que {xₙ} esta acotada superiormente.

Denotemos con "α" al supremo. Entonces por teorema 2:

∀ ε > 0,  ∃ m ∈ N tal que:  

        α - ε < xₘ ≤ α

Para cada n ≥ m, se tiene que

          xₘ ≤ xₙ      

Sabemos que:  xₙ ≤ α , entonces:

   xₘ ≤ xₙ ≤ α

A su vez, tenemos:   α < α + ε ,  Entonces:

α - ε < xₘ ≤ xₙ ≤ α < α + ε

Por Transitividad:

α - ε < xₙ < α + ε

Es decir:  

║aₙ - α║< ε  ⇔     $\lim_{n \to \infty} a_{n} = \alpha$

Habiendo demostrado la ida y la vuelta, quedo demostrado el teorema

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Saludoss