Question

Ayuda con esta integral ∫e^x-1/e^x+1 dx

Answer 1

∫ (eˣ - 1)/(eˣ + 1) dx
Separando la integral:
∫ (eˣ - 1)/(eˣ + 1) dx= ∫  eˣ/(eˣ + 1) dx -  ∫  1/(eˣ + 1) dx

Primera:
∫  eˣ/(eˣ + 1) dx  
Resolviendo por sustitución:
u= eˣ +1, du/dx= eˣ, dx= du/eˣ

∫  eˣ/u du/eˣ =∫ 1/u du = Ln u = Ln (eˣ +1)

Segunda:
∫  1/(eˣ + 1) dx
Para esta integral resolveremos por sustitución, pero antes haremos un pequeño truco, sumaremos 0 en el numerador (eˣ-eˣ= 0):
.∫  1+eˣ-eˣ/(eˣ + 1) dx = ∫(1+eˣ)/ (eˣ+1) - eˣ/(eˣ + 1) dx = ∫1 - eˣ/(eˣ + 1) dx
volvemos a separar las integrales:
∫1 - eˣ/(eˣ + 1) dx = ∫dx - ∫ eˣ/(eˣ + 1) dx
∫dx =  x
 ∫ eˣ/(eˣ + 1) dx (Ya la resolvimos) =  Ln (eˣ +1)
∫  1/(eˣ + 1) dx = x - Ln (eˣ +1)


Entonces obtenemos:

∫ (eˣ - 1)/(eˣ + 1) dx = Ln (eˣ +1) - (x - Ln (eˣ +1)) = 2 Ln (eˣ +1) -x +c