Question

Ejercicios propiedades de la circunferencia
me podrían ayudar con estos problemas.

Answer 1

En el triángulo 1, el radio de la circunferencia es 2.

En el triángulo 2, la suma AB+CD es 31.

En el cuadrilátero 1, los lados miden 4, 5, 7 y 8.

En el cuadrilátero 2, el lado AD mide 8.

Explicación paso a paso:

Triángulo 1:

El triángulo de la figura es rectángulo, por ende podemos calcular su hipotenusa:

$c=\sqrt{6^2+8^2}=10$

Ahora bien, si trazamos los segmentos de los vértices al incentro, el triángulo se puede dividir en 3 triángulos con la misma altura (que es el radio de la circunferencia), la suma de las 3 áreas es el área del triángulo:

$\frac{10.r}{2}+\frac{6r}{2}+\frac{8r}{2}=\frac{6.8}{2}\\\\24r=48\\\\r=2$

Triángulo 2:

Si trazamos los radios de la circunferencia hasta los puntos N y M y tenemos en cuenta que el ángulo B es 4, llamando I al incentro, el cuadrilátero MINB es un cuadrado. Y además tenemos los pares de triángulos congruentes PCI y NIC y AMI y API. Por lo que la suma de áreas queda:

$r^2+2\frac{AP.r}{2}+2\frac{PC.r}{2}=\frac{AB.BC}{2}\\\\r^2+AP.r+PC.r=\frac{AB.BC}{2}\\\\AP+PC=AC=>r^2+AC.r=\frac{AB.BC}{2}\\\\8^2+15.8=\frac{AB.BC}{2}\\\\AB.BC=368$

También el triángulo se puede dividir en sus 3 bisectrices. Quedando 3 triángulos de altura 'r' y de base igual a cada lado:

$\frac{AC.r}{2}+\frac{AB.r}{2}+\frac{BC.r}{2}=\frac{AB.BC}{2}\\\\AC.r+(AB+BC)r=AB.BC\\\\AB+BC=\frac{AB.BC-AC.r}{r}=\frac{368-15.8}{8}=31$

Cuadrilátero 1:

Acá tenemos un  cuadrilátero circunscrito, en él, la suma de los dos pares de lados opuestos son iguales:

$3x-2+3x+2=2x+1+5x-3\\\\6x=7x-2\\\\-x=-2\\\\x=2$

Y las dimensiones son:

$3.2-2=4\\2.2+1=5\\3.2+2=8\\5.2-3=7$

Cuadrilátero 2:

Una vez más tenemos un cuadrilátero circunscripto, en el que la suma de los dos pares de lados opuestos son iguales, por lo que queda:

$AB+CD=AD+BC\\\\AD=AB+CD-BC=6+10-8=8$