A partir de la siguiente situación responda las preguntas:
Una compañía que ensambla cámaras digitales, representa el costo anual, en dólares, por la función: C paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual 90000 más 500 x más 0.001 x al cuadrado y el ingreso anual, en pesos, por la función de venta: V paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual 1000 x menos 0.004 x al cuadrado, donde x es la cantidad de cámaras digitales producidas anualmente.
La función ganancia se expresa como G(x) y se define como la diferencia entre la venta menos el costo: G(x) = V(x) - C(x).
De la situación anterior podemos afirmar que la función ganancia, G(x) es:
A. G(x)=−0.005x2+500x−90000.
B. G(x)=−0.05x2−500x+9000.
C. G(x)=−0.03x2+1500x+9000.
D. G(x)=−0.05x2−500x+9000
¿Cuántas cámaras deberían fabricarse para obtener la ganancia máxima?
A. 500
B. 50,000
C. 5,000
D. 50
¿Cuál es la ganancia máxima?
A. 1,241
B. 124,100
C. 12,410
D. 12'410,000
Respuestas
Respuesta:
1) A
2)B
3)D
Explicación:
c=90000+500x+0.001x^2
v=1000x-0.004x^2
A. G(x)=−0.005x^2+500x−90000.
B.
derivando obtenemos
g'(x)=-0.005*2x+500
igualamos a cero para calcular máximos y minimos
0=-0.001x+500
-500/-0.001 = x
x=50000
Evaluando en
c) G(x)=−0.005x^2+500x−90000.
=-0.005(50000*50000)+500*50000-90000=12410000
La función de ganancias es G(x) = - 0.005x² + 500x - 9000. Opción A, que se obtiene una ganancia máxima cuando se venden 50000 cámaras y la ganancia es 12491000
Tenemos que los costos anuales son:
C(x) = 90000 + 500x + 0.001x²
V(x) = 1000x - 0.004x²
Las ganancias son iguales a las ventas menos los costos entonces son:
G(x) = 1000x - 0.004x² - (90000 + 500x + 0.001x²)
G(x) = 500x - 90000 - 0.005x²
G(x) = - 0.005x² + 500x - 9000. Opción A
Derivamos e igualamos a cero para ver el máximo como es una parábola con coeficiente cuadrático negativo entonces el punto crítico es un máximo
-0,01x + 500 = 0
0.01x = 500
x = 500/0.01
x = 50000. Opción B
La ganancia máxima es:
G(50000) = - 0.005*(50000)² + 500*50000 - 9000.
= 12491000
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