Question

Ecuaciones Logaritmicas
2LogX + 3LogX = 5

Log2 + 2Log(x-3) = Log2x

LogX + Log(3x+5)=2

Ayudemen por favor
El Prosedimiento Completo Con Su Resultado Los Tres Ejercicios

Answer 1

Vamos a emplear las siguiente propiedades de los logaritmos:

$log (x^{n})=(n) log(x) \\ \\ log((x)(y))=log(x)+log(y)$

entonces para el primer ejercicio tenemos:

$2log(x)+3log(x)=5 \\ \\ Consideremos:log(x)=a \\ 2(a)+3(a)=5 \\ 5a=5 \\ a=1 \\ \\ Pero:a=log(x) \\ \\ log(x)=1 \\ \\ (10)^{1} =x \\ x=10$

en éste ejercicio mira que solo le puse un nombre a log(x) para que te des cuenta que podíamos sumarlos..luego aplicamos la definición de logaritmo...

$log _{a} (x)=b \\ Es_{IGUAL}: \\ a^{b} =x$

para el siguiente:

$log(2)+2log(x-3)=log(2x) \\ log(2)+2log( x-3 )=log((2)(x)) \\ log(2)+2log(x-3)=log(2)+log(x) \\ 2log(x-3)=log(x) \\ log( (x-3)^{2} )=log(x)$

podemos simplificar los logaritmos...

$(x-3)^{2} =x \\ x^{2} -6x+9=x \\ x^{2} -7x+9=0 \\ \\ Donde: \\ a=1 \\ b=-7 \\ c=9 \\ \\ X_{1,2} = \frac{-b(+-) \sqrt{ x^{2} -4ac} }{2a} \\ X_{1,2} = \frac{-(-7)(+-) \sqrt{ (-7)^{2} -4(1)(9)} }{2(1)} \\ X_{1,2} = \frac{7(+-) \sqrt{ 13} }{2} \\ \\ Soluciones: \\ x_{1} = \frac{7+ \sqrt{13} }{2} =5,30 \\ x_{2} = \frac{7- \sqrt{13} }{2} =1,7$

Como las raíces nos salieron todas positivas, entonces las dos son solución del problema, recuerda que si alguna de éstas soluciones hubiese sido negativa entonces ya no sería solución porque no existen logaritmos de número negativos....entonces solo consideraríamos la solución positiva...

finalmente para el último tenemos:

$log(x)+log(3x+5)=2 \\ log(x(3x+5))=2$

aquí vamos a aplicar otra propiedad que nos dice:

$log _{a} (x)=log _{a} (y) \\ a ^{log _{a} (x)} = a^{log _{a} (y)} \\ x=y$

éste procedimiento es, elevamos a cada lado a la "base"..que tengamos....entonces lo que está dentro del paréntesis sale...también funciona con número por supuesto como en nuestro caso..entonce tenemos, elevamos todo a la base 10

$10^{ log(x(3x+5))} =10 ^{2} \\ x(3x+5)=100 \\ 3 x^{2} +5x-100=0 Donde: \\ a=3 \\ b=5 \\ c=-100 \\ \\ X_{1,2} = \frac{-b(+-) \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a} \\ X_{1,2} = \frac{-(5)(+-) \sqrt{(5)^{2}-4(3)(-100) } }{2(3)} \\ X_{1,2} = \frac{-(5)(+-) \sqrt{1225 } }{6} = \frac{-5(+-)35 }{6} \\ \\ Soluciones: \\ x_{1}= \frac{-5+35}{6} =5 \\ x_{2} = \frac{-5-35}{6} = - \frac{20}{3} =-6,67$

mira que aquí ya tenemos una positiva y otra negativa, no hay logaritmos de número negativos, entonces la solución sería x=5...

y eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas