Question

Encontrar los valores de las constantes a,b,c,d tales que la grafica de f(x)=ax*3+bx*2+cx+d tiene rectas horizontales tangentes a los puntos (0,1) y (2,0)

Answer 1

Ok, para éste tipo de ejercicios, hay que saber manejar las definiciones de derivada y un poquito de imaginación..:3...aunque yo no la tengo pero bueno..

Primero, ya nos dan un dato muy importante...que los vamos a usar se trata del primer punto que nos dan...estás de acuerdo que la coordenada del eje "x"=0 y la de "y"=1 (0,1), si verdad?..entonces estás de acuerdo con lo siguiente:

$f(0)=a (0)^{3} +b (0)^{2} +c(0)+d \\ Pero:f(0)=1 \\ 1=a (0)^{3} +b (0)^{2} +c(0)+d \\ 1=d$

Ya encontramos una de las incógnitas...entonces nos quedó así

$f(x)=ax^{3} +bx^{2} +cx+1$

Ahora vamos a usar la derivación, si sabes verdad?..

$f(x)=ax^{3} +bx^{2} +cx+d \\ f'(x)=3a x^{2} +2bx+c$

Ahora, la derivada de una función que representa?...representa la pendiente de la recta tangente a la curva en un cierto punto...verdad?...

pero los puntos donde la recta es tangente horizontal ya nos dan...son en x=0 y x=2 cierto?

ahora vamos a usar el teorema de factor nulo que nos dice
si a=0 y b=0 entonces (a)(b)=0  
esto se verdad??...claro...

entonces apliquemos éste teorema o nuestro ejercicio
$x-0=0 \\ x-2=0 \\ Entonces \\ (x-0)(x-2)=0 \\ x(x-2)=0$

y ya...eso fue fácil...hasta aquí alguna duda?...:D...justo acabó de sonar un grillo..jajaja...

bueno...

ahora como dijimos la pendiente de la recta HORIZONTAL (m=0),tangente a la recta se la obtiene cuando:

$f'(x)=0$
$3ax^{2} +2bx+c=0$

Además tenemos que
$x(x-2)=0$

podemos igualar éstas dos ecuaciones verdad?...ambas están igualadas a cero...entonces si podemos hacer eso

$3ax^{2} +2bx+c=x(x-2) \\ 3ax^{2} +2bx+c= x^{2} -2x+0 \\ 3ax^{2} +2bx+c= (1)x^{2} +(-2)x+0$


Si aumento el cero no pasa nada verdad??...mira que solo he acomodado los números no ha pasado nada....

bueno ahora estás de acuerdo que si quiero que el lado izquierdo sea igual al lado derecho entonces...los COEFICIENTES, los numeritos que van a lado de las variables de la DERECHA tienen que ser iguales??..es decir el número que le corresponde al $x^{2}$ de la izquierda debe ser igual al número que le acompaña al $x^{2}$ de la derecha verdad?..y así con los demás entonces...nos queda lo siguiente.

$3a=1 \\ 2b=-2 \\ c=0 \\ \\ a= \frac{1}{3} \\ b=-1 \\ c=0$

Finalmente tenemos, reemplazando éstos valores:

$f(x)=a x^{3} +b x^{2} +cx+1 \\ f(x)=( \frac{1}{3} ) x^{3} +(-1) x^{2} +(0)x+1 \\ \\ f(x)= \frac{ x^{3} }{3} - x^{2} +1$

Puedes comprobar que los número obtenido son correctos, si derivas esa función...(en caso de que dude de mi...) en todo caso...siempre verifica que la respuesta es la correcta...

y eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas