Question

Ayuda por favor con estos ejercicios de calculo integral. Con procedimiento y propiedad aplicada en los ejercicios. gracias.

Halle el área bajo la curva de las siguientes funciones: (Visualizar y Ampliar Imagen)

Graficar cada uno de los puntos de las funciones.

Answer 1

De igual manera por motivo de que me hes permitido subir un máximo de 5 imágenes no subiré la imágenes correspondientes aunque, no representan ayuda alguna ...el propósito de los siguientes ejercicio es hallar el área bajo la curva usando los límites establecidos...y usando el Teorema Fundamental del Cálculo 

$\int\limits^b_a {f(x)} \, dx =F(b)-F(a)$

Siendo F mayúscula la primitiva de cada integral...Bueno empecemos:

(1)
$\int\limits^1_0{(2x-3)} \, dx = 2\int\limits^1_0 {x} \, dx -3 \int\limits^1_0 {} \, dx = x^{2} -3x]\limits^1_0 \\ \\ F(b)-F(a) \\ ( (1)^{2} -3(1))-( (0)^{2}-3(0) ) \\ -2$

(2)
$\int\limits^2_1 { \frac{5-x}{ x^{3} } } \, dx = \int\limits^2_1 { \frac{5}{ x^{3} } } \, dx- \int\limits^2_1 { \frac{1}{ x^{2} } } \, dx = (- \frac{5}{2 x^{2} } + \frac{1}{x})]\limits^2_1 \\ \\ F(b)-F(a) \\ (- \frac{5}{2 (2)^{2} } + \frac{1}{(2)})-((- \frac{5}{2 (1)^{2} } + \frac{1}{(1)})) \\ -\frac{1}{8} + \frac{3}{2} = \frac{11}{8} =1,375$

(3)
$\int\limits^5_1 {2 \sqrt{x-1} } \, dx =2 \int\limits^5_1 {(x-1)^{ \frac{1}{2} } } \, dx =4( \frac{ (x-1)^{ \frac{3}{2} } }{3} )] \limits^5_1 \\ \\ F(b)-F(a) \\ 4( \frac{ ((5)-1)^{ \frac{3}{2} } }{3} )-(4( \frac{ ((1)-1)^{ \frac{3}{2} } }{3} )) \\ \frac{4}{3} ( 4^{ \frac{3}{2} } )=10,6667$

(4)
$\int\limits^a_0 { ( \sqrt{a}- \sqrt{x} )^{2} } \, dx = \int\limits^a_0 {(a-2 \sqrt{a} \sqrt{x} +x )} \, dx = ax- \frac{4}{3} \sqrt{a} x^{ \frac{3}{2} } + \frac{ x^{2} }{2} ]\limits^a_0 \\ \\ F(b)-F(a) \\( a(a)- \frac{4}{3} \sqrt{a} (a)^{ \frac{3}{2} } + \frac{ (a)^{2} }{2})-(a(0)- \frac{4}{3} \sqrt{a} (0)^{ \frac{3}{2} } + \frac{ (0)^{2} }{2}) \\ a^{2} - \frac{4}{3} a^{2} + \frac{ a^{2} }{2} = \frac{ a^{2} }{6}$

(5)No me deja poner el signo "negativo" en los límites, aunque no éste escrito el límite inferior es "-2"

$\int\limits^0_2 {(x-2)(x+1)} \, dx = \int\limits^0_2 { x^{2} -x-2} \, dx = \frac{ x^{3} }{3} - \frac{ x^{2} }{2} -2x ] \limits^0_2 \\ \\ F(b)-F(a) \\ (\frac{ (0)^{3} }{3} - \frac{ (0)^{2} }{2} -2(0))-(\frac{ (-2)^{3} }{3} - \frac{ (-2)^{2} }{2} -2(-2) ) \\ -(- \frac{8}{3} -2+4)= \frac{2}{3} =0,6667$

(6)
$\int\limits^4_0 { (1+2 \sqrt{x} )^{2} } \, dx = \int\limits^4_0 {1+4 \sqrt{x} +4x} \, dx =x+ \frac{8}{3} x^{ \frac{3}{2} } +2 x^{2}]\limits^4_0 \\ \\ F(b)-F(a) \\ \\ ((4)+ \frac{8}{3} (4)^{ \frac{3}{2} } +2 (4)^{2})-((0)+ \frac{8}{3} (0)^{ \frac{3}{2} } +2 (0)^{2}) \\ \\ 57,333$

(7)
$\int\limits^1_0 {(2a+1) ^{4} } \, da \\ Cosideremos: \\ u=2a+1 \\ du=2da \\ da= \frac{du}{2} \\ Reemplazando: \\ \int\limits^1_0 { u^{4} } \, \frac{du}{2} = \frac{(2a+1) ^{5} }{10}] \limits^1_0 \\ \\ F(b)-F(a) \\ \\ (\frac{(2(1)+1) ^{5} }{10})-(\frac{(2(0)+1) ^{5} }{10}) =24,2$

(8)
$\int\limits^8_1 {xln(x)} \, dx = \frac{1}{2} x^{2} ln(x) - \frac{ x^{4} }{4}] \limits^8_1 \\ \\ F(b)-F(a) \\ \\ (\frac{1}{2} (8)^{2} ln((8)) - \frac{ (8)^{4} }{4})-(\frac{1}{2} (1)^{2} ln((1)) - \frac{ (1)^{4} }{4}) \\ 32ln(8)- \frac{63}{4} =50,79$

(9)
$\int\limits^ \frac{ \pi }{2} _0 {sin(x)} \, dx =-cos(x)]\limits^ \frac{ \pi }{2} _0 \\ \\ F(b) -F(a) \\ \\ (-cos( \frac{ \pi }{2} ))-(-cos(0)) \\ -(-1)=1$

(10)
$\int\limits^3_0 {- x^{2} +x-1} \, dx =- \frac{ x^{3} }{3} + \frac{ x^{2} }{2} -x ] \limits^3_0 \\ \\ F(b)-F(a) \\ \\ (- \frac{ (3)^{3} }{3} + \frac{ (3)^{2} }{2} -(3))-(- \frac{ (0)^{3} }{3} + \frac{ (0)^{2} }{2} -(0)) \\ -12+ \frac{9}{2} =- \frac{15}{2}$

(11)Igualmente no puedo poner el signo negativo..pero tu sabes que está ahí
$\int\limits^1_2 {( \frac{1}{3}t-2 ) ^{2} } \, dt= \int\limits^1_2 { \frac{ t^{2} }{9}- \frac{4}{3}t +4 } \, dt= \frac{ t^{3} }{27} - \frac{2}{3} t^{2} +4t ]\limits^1_2 \\ \\ F(b)-F(a) \\ \\ (\frac{ (1)^{3} }{27} - \frac{2}{3} (1)^{2} +4(1) )-(\frac{ (-2)^{3} }{27} - \frac{2}{3} (-2)^{2} +4(-2) ) = \frac{43}{3} =14,333$

(12)de la misma manera no me deja poner el signo negativo pero sabes que está ahí en el límite inferior
$\int\limits^0_3 { \frac{1}{9+2x} } \, dx \\ Consideremos: \\ u=9+2x \\ du=2dx \\ dx= \frac{du}{2} \\ Reemplazamos: \\ \int\limits^0_3 { \frac{1}{u} } \, \frac{du}{2} = \frac{1}{2} ln(9+2x) \\ \\ F(b)-F(a) \\ \\ (\frac{1}{2} ln(9+2(0)))-(\frac{1}{2} ln(9+2(-3)))=0,255$

(13)
$\int\limits^ \pi _0 {cos(2x)} \, dx = \frac{sin(2x)}{2}] \limits^ \pi _0 \\ \\ F(b)-F(a) \\ \\ (\frac{sin(2( \pi ))}{2})-(\frac{sin(2(0))}{2}) \\ \\ 0-0=0$

En éste caso lo que sucede es que las áreas que consideramos son las mismas por eso se cancelan..las áreas son =3,134

Espero te sirva