Question

Ayuda por favor con estos ejercicios de calculo integral. Con procedimiento y propiedad aplicada en los ejercicios. gracias.

Solucione las siguientes integrales haciendo uso de las propiedades: (Visualizar y Ampliar Imagen)

No están numerados los puntos, por favor numerarlos en la respuesta con su respectivo ejercicio.

Answer 1

Mientras vamos resolviendo las integrales iré colocando las propiedades o lo que vayamos a usar...

Para el primero utilizaremos ésta "integral directa"
$\int\limits { x^{n} } \, dx = \frac{ x^{n+1} }{n+1} +C$

$\int\limits {(3 x^{3}-5 x^{2} +3x+4) } \, dx = (3) \frac{ x^{3+1} }{3+1} -(5) \frac{ x^{2+1} }{2+1} +(3) \frac{ x^{1+1} }{1+1} +4x+C \\ \\ \frac{3}{4} x^{4} - \frac{5}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} +4x+C$

Segundo:
Veamos las integrales directas que vamos a emplear:
$\int\limits {sin(x)} \, dx =-cos(x) \\ \int\limits {cos(x)} \, dx =sin(x)$
Podríamos aplicar la propiedad de la suma de integrales, que ya la mencioné en la tarea de tu "quiz" revisalo ahí
$\int\limits {(sin(x)+7cos(x)-1)} \, dx = \int\limits {sin(x)} \, dx +7 \int\limits {cos(x)} \, dx - \int\limits{1} \, dx =... \\ \\ ...=-cos(x)+7sin(x)-x+C$

Tercero:
Para el siguiente ejercicio voy a necesitar explicarlo con dibujos entonces estará en la primera imagen

Cuarto:
Para éste ejercicio vamos usar la siguiente identidad trigonométrica:
$1+ tan^{2} (x)= sec^{2} (x)$
Además usaremos la integral directa:
$\int\limits{sec ^{2}(x) } \, dx =tan(x)+C$
Entonces tenemos:
$\int\limits {tan ^{2}(x) } \, dx = \int\limits{(sec ^{2}(x)-1 )} \, dx = \int\limits { sec^{2}(x) } \, dx - \int\limits{1} \, dx =... \\ \\ ...=tan(x)-x+C$

Quinto:
Para éste vamos a usar la propiedad distributivo de número reales es decir multiplicar término a término

$\int\limits {(4x+2)(x-1)} \, dx = \int\limits {4 x^{2} -4x+2x-2} \, dx = \int\limits {4 x^{2} -2x-2} \, dx =... \\ \\ (4) \frac{ x^{2+1} }{2+1} -(2) \frac{ x^{1+1} }{1+1} -(2)x+C \\ \frac{4}{3} x^{3} - x^{2} -2x+C$

Sexto:
Para éste aplicaremos las propiedades de los exponentes de una raíz
$\sqrt[n]{ x^{m} } = x^{ \frac{m}{n} }$
$\int\limits { \sqrt{x} -2} \, dx = \int\limits{ x^{ \frac{1}{2} }-2 } \, dx = \frac{ x^{ \frac{1}{2}+1 } }{ \frac{1}{2}+1 } -2x+C= \frac{2}{3} x^{ \frac{3}{2} } -2x+C$

(7)
Para éste ejercicio vamos a tener que usar dos método de integración el primera será integración por sustitución 

$\int\limits { \frac{ e^{x}(x-1)- e^{x} }{ (x-1)^{2} } } \, dx \\ Consideremos: \\ m=(x-1) \\ Derivamos \\ dm=dx \\ Entonces: \\ \int\limits { \frac{ e^{x}(m)- e^{x} }{ m^{2} } } \, dm = \int\limits { \frac{ e^{x}(m-1) }{ m^{2} } } \, dm \\ Pero:x=m+1 \\ \int\limits { \frac{e^{m+1}(m-1)}{ m^{2} } } \, dm$

Ahora debemos integrar por partes..haciendo usa de la siguiente fórmula
$\int\limits {u} \, dv=uv- \int\limits{v} \, du$

Entonces ESCOGEMOS a nuestro "u"
$u= e^{m+1} (m-1) \\ Derivamos: \\ du= ( e^{m+1} )'(m-1)+(m-1)'( e^{m+1} ) \\ du= e^{m+1} (m-1)+( e^{m+1} ) \\ du= e^{m+1}mdm \\ dm= \frac{du}{ e^{m+1} }$

Ahora tomamos:
$dv= \frac{1}{ m^{2} } dm \\ Integramos: \\ v=- \frac{1}{m}$

listo con todo ésto vamos a resolver la integral, reemplacemos todo lo que hemos obtenido

$\int\limits { \frac{ e^{m+1}(m-1) }{ m^{2} } } \, dm= e^{m+1}(m-1)(- \frac{1}{m} ) - \int\limits {- \frac{1}{m}( e^{m+1}m ) } \, dm =... \\ \\ ...=- \frac{ e^{m+1}(m-1) }{m} - \int\limits {-e^{m+1} } \, dm \\ \\ Consideremos: \\ m+1=v \\ Derivamos: \\ dm=dv \\ - \int\limits {- e^{v} } \, dv=-(- e^{v} )= e^{m+1} \\ \\ Uniendo: \\ \\ - \frac{ e^{m+1}(m-1) }{m} + e^{m+1} +C \\ \\ e^{x} - \frac{ e^{x}(x-2) }{(x-1)} +C$

(8)
$\int\limits { \frac{2}{ \sqrt{x} } } \, dx = \int\limits {2( x^{- \frac{1}{2} } )} \, dx =(2)( \frac{ x^{ -\frac{1}{2}+1 } }{-\frac{1}{2}+1 } )=4 \sqrt{x} +C$

(9)
Para éste ejercicio vamos a resolver usando una sustitución
$\int\limits { \frac{x-1}{ \sqrt{2x}- \sqrt{x+1} } } \, dx \\ \\ Consideremos: \\ u=x+1 \\ Derivando: \\ du=dx \\ Reemplazando \\ \int\limits{ \frac{x-1}{ \sqrt{2x}- \sqrt{u} } } \, du;Pero:x=u-1 \\ \\ \int\limits { \frac{u-1-1}{ \sqrt{2(u-1)- \sqrt{u} } } } \, du = \int\limits { \frac{u-2}{ \sqrt{2} \sqrt{u-1}- \sqrt{u} } } \, du= \int\limits { \sqrt{2} \sqrt{u-1}+ \sqrt{u} } \, du =... \\ \\ \sqrt{2} \int\limits{ (u-1)^{ \frac{1}{2} } } \, du+ \int\limits { u^{ \frac{1}{2} } } \, du=...$

$\frac{2}{3} \sqrt{2} x^{ \frac{3}{2} } + \frac{2}{3} (x+1) ^{ \frac{3}{2} } +C$

la continuación de los ejercicios están en el tarea 

http://brainly.lat/tarea/3896672