Question

Ayuda por favor con estos terceros ejercicios de calculo diferencial. Con procedimiento y propiedad aplicada en los ejercicios. gracias.

En cada caso, determine: dy/dx : (Visualizar y Ampliar Imagen)

Answer 1

Se trata de la misma orden que los ejercicio anteriores...desarrollar la deriva de una función "y" con respecto a "x"...que es lo que hemos venido haciendo...

Para éstas alturas ya hemos visto la mayor cantidad de derivadas y todos los artificios que nos podrían ayudar a resolver la derivada...aquí iremos reforzando lo que hemos venido haciendo...

Recuerda que 
$f'(x)= \frac{dy}{dx}$

$a)y=2 x^{3} +3 x^{2} +6 \\ y'=6 x^{2} +6x$
También podemos usar la notación que nos pide el ejercicio

$y=2 x^{3} +3 x^{2} +6 \\ dy=(6 x^{2} +6x)dx \\ \frac{dy}{dx} =6 x^{2} +6x$
Es exactamente lo mismo...

$b)y=a x^{2} +bx-c \\ y'=(2)ax+b-0 \\ y'=2ax+b$

Mira que "a", "b" y "c"...se comportan como constantes entonces las tratamos como números...

$c)y=xln(x) \\ y'=(x')ln(x)+(ln(x))'(x) \\ y'=1(ln(x))+ \frac{1}{x} (x) \\ y'=ln(x)+1 \\ \\ d)y= \frac{ x^{2} }{ e^{x} } \\ y'= \frac{( x^{2} )'( e^{x} )- (e^{x}')( x^{2} ) }{( e^{x} ) ^{2} } \\ y'= \frac{2x e^{x}- e^{x} x^{2} }{ (e^{x} )^{2} } \\ y'= \frac{ e^{x}(2x- x^{2} ) }{ (e^{x}) ^{2} } \\ y'= \frac{2x- x^{2} }{ e^{x} }$

$e)y= \sqrt[3]{x} 2^{x} \\ y= x^{ \frac{1}{3} } ( 2^{x} ) \\ y'=( x^{ \frac{1}{3} }' )( 2^{x} )+( 2^{x} )'( x^{ \frac{1}{3} } ) \\ y'= \frac{1}{3} ( x^{- \frac{2}{3} } )( 2^{x} )+( 2^{x}ln(2) )( x^{ \frac{1}{3} } ) \\ y'= \frac{ 2^{x} }{3 \sqrt[3]{ x^{2} } } + ( \sqrt[3]{x} )2^{x} ln(x)$

$f)y= \frac{ 6^{x} }{log(x)} \\ y'= \frac{( 6^{x} )'(log(x))-(log(x))'( 6^{x} )}{ (log(x))^{2} } \\ y'= \frac{ 6^{x}ln(6)(log(x))-( \frac{1}{xln(10)} )( 6^{x} )}{log ^{2}(x) } \\ y'= \frac{ 6^{x}ln(6)log(x)- \frac{ 6^{x} }{xln(10)} }{ log^{2}(x) }$

podríamos dejarle hasta ahí...o seguirle desarrollando un poco más...Para ésta última derivada faltaría por mencionar...

$f(x)=log _{a} (x) \\ f'(x)= \frac{1}{xln(a)}$

Y eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna pregunta me avisas