Ayuda por favor con estos terceros ejercicios de calculo diferencial. Con procedimiento y propiedad aplicada en los ejercicios. gracias.
Determine la derivada de las siguientes funciones (Ver Imagen)
Adjuntos:
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1
Para resolver éstos ejercicios vamos a aplicar todo lo que hemos visto de la primera y segunda tarea...adicionalmente algunas cosas que iremos viendo en el camino....
Para resolver éstas derivadas podemos hacerlo por dos caminos, el primero es aplicando la derivada del producto el otro es; antes de derivar multiplicar término a término y luego tendríamos un polinomio y eso seria más fácil de derivar...
![a)f(t)=( t^{2}+1 )( t^{3} +t^{2}+1) \\ f'(t)=( t^{2}+1 )'(t^{3}+ t^{2}+1 )+( t^{3}+ t^{2}+1 )'( t^{2}+1 ) \\ f'(t)=(2t+0)( t^{3}+ t^{2}+1 )+(3 t^{2}+2t+0 )( t^{2}+1 ) \\ f'(t)=(2t)( t^{3}+ t^{2}+1 )+(3 t^{2}+2t )( t^{2}+1 ) \\ f'(t)=2 t^{4} +2 t^{3} +2t+3 t^{4} +3 t^{2} +2 t^{3} +2t \\ f'(t)=5 t^{4} +4 t^{3} +3 t^{2} +4t a)f(t)=( t^{2}+1 )( t^{3} +t^{2}+1) \\ f'(t)=( t^{2}+1 )'(t^{3}+ t^{2}+1 )+( t^{3}+ t^{2}+1 )'( t^{2}+1 ) \\ f'(t)=(2t+0)( t^{3}+ t^{2}+1 )+(3 t^{2}+2t+0 )( t^{2}+1 ) \\ f'(t)=(2t)( t^{3}+ t^{2}+1 )+(3 t^{2}+2t )( t^{2}+1 ) \\ f'(t)=2 t^{4} +2 t^{3} +2t+3 t^{4} +3 t^{2} +2 t^{3} +2t \\ f'(t)=5 t^{4} +4 t^{3} +3 t^{2} +4t](https://tex.z-dn.net/?f=a%29f%28t%29%3D%28+t%5E%7B2%7D%2B1+%29%28+t%5E%7B3%7D+%2Bt%5E%7B2%7D%2B1%29+%5C%5C+f%27%28t%29%3D%28+t%5E%7B2%7D%2B1+%29%27%28t%5E%7B3%7D%2B+t%5E%7B2%7D%2B1++%29%2B%28+t%5E%7B3%7D%2B+t%5E%7B2%7D%2B1++%29%27%28+t%5E%7B2%7D%2B1+%29+%5C%5C+f%27%28t%29%3D%282t%2B0%29%28+t%5E%7B3%7D%2B+t%5E%7B2%7D%2B1++%29%2B%283+t%5E%7B2%7D%2B2t%2B0+%29%28+t%5E%7B2%7D%2B1+%29+%5C%5C+f%27%28t%29%3D%282t%29%28+t%5E%7B3%7D%2B+t%5E%7B2%7D%2B1++%29%2B%283+t%5E%7B2%7D%2B2t+%29%28+t%5E%7B2%7D%2B1+%29+%5C%5C+f%27%28t%29%3D2+t%5E%7B4%7D+%2B2+t%5E%7B3%7D+%2B2t%2B3+t%5E%7B4%7D+%2B3+t%5E%7B2%7D+%2B2+t%5E%7B3%7D+%2B2t+%5C%5C+f%27%28t%29%3D5+t%5E%7B4%7D+%2B4+t%5E%7B3%7D+%2B3+t%5E%7B2%7D+%2B4t)
Ahora vamos primero a multiplicar término a término y deberemos llegar al mismo resultado...
![f(t)=( t^{2}+1 )( t^{3}+ t^{2} +1 ) \\ f(t)= t^{5} + t^{4} + t^{2} + t^{3} + t^{2} +1 \\ f(t)= t^{5} + t^{4}+ t^{3} +2 t^{2} +1 \\ f'(t)=5 t^{4} +4 t^{3} +3 t^{2} +4t f(t)=( t^{2}+1 )( t^{3}+ t^{2} +1 ) \\ f(t)= t^{5} + t^{4} + t^{2} + t^{3} + t^{2} +1 \\ f(t)= t^{5} + t^{4}+ t^{3} +2 t^{2} +1 \\ f'(t)=5 t^{4} +4 t^{3} +3 t^{2} +4t](https://tex.z-dn.net/?f=f%28t%29%3D%28+t%5E%7B2%7D%2B1+%29%28+t%5E%7B3%7D%2B+t%5E%7B2%7D+%2B1+%29+%5C%5C+f%28t%29%3D+t%5E%7B5%7D+%2B+t%5E%7B4%7D+%2B+t%5E%7B2%7D+%2B+t%5E%7B3%7D+%2B+t%5E%7B2%7D+%2B1+%5C%5C+f%28t%29%3D+t%5E%7B5%7D+%2B+t%5E%7B4%7D%2B+t%5E%7B3%7D+%2B2+t%5E%7B2%7D+%2B1+%5C%5C+f%27%28t%29%3D5+t%5E%7B4%7D+%2B4+t%5E%7B3%7D+%2B3+t%5E%7B2%7D+%2B4t)
Como ves, llegamos a lo mismo....para los siguientes casos...vamos a usar el segundo método, se ve más práctico
![b)f(z)= \frac{1}{2z} - \frac{1}{3 z^{2} } \\ f(z)= \frac{1}{2} ( z^{-1} )- \frac{1}{3} ( z^{-2} ) \\ f'(z)=- \frac{1}{2} ( z^{-2} )+ \frac{2}{3} ( z^{-3} ) \\ f'(z)= -\frac{1}{2 z^{2} } + \frac{2}{3 z^{3} } \\ \\ c)f(t)= \frac{t-1}{ t^{2}+2t+1 } \\ f'(t) =(t-1)( t^{2}+2t+1 ) ^{-1} \\ f'(t)=(t-1)'(t^{2}+2t+1 ) ^{-1}+(t-1) ( t^{2}+2t+1 ) ^{-1} ' \\ f'(t)=(1-0)( t^{2}+2t+1 ) ^{-1} +(t-1)(-1)( t^{2}+2t+1 )^{-2} (2t+2+0) \\ f'(t)=( t^{2}+2t+1 ) ^{-1} -(t-1)( t^{2}+2t+1 ) ^{-2} (2t+2) b)f(z)= \frac{1}{2z} - \frac{1}{3 z^{2} } \\ f(z)= \frac{1}{2} ( z^{-1} )- \frac{1}{3} ( z^{-2} ) \\ f'(z)=- \frac{1}{2} ( z^{-2} )+ \frac{2}{3} ( z^{-3} ) \\ f'(z)= -\frac{1}{2 z^{2} } + \frac{2}{3 z^{3} } \\ \\ c)f(t)= \frac{t-1}{ t^{2}+2t+1 } \\ f'(t) =(t-1)( t^{2}+2t+1 ) ^{-1} \\ f'(t)=(t-1)'(t^{2}+2t+1 ) ^{-1}+(t-1) ( t^{2}+2t+1 ) ^{-1} ' \\ f'(t)=(1-0)( t^{2}+2t+1 ) ^{-1} +(t-1)(-1)( t^{2}+2t+1 )^{-2} (2t+2+0) \\ f'(t)=( t^{2}+2t+1 ) ^{-1} -(t-1)( t^{2}+2t+1 ) ^{-2} (2t+2)](https://tex.z-dn.net/?f=b%29f%28z%29%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2z%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B3+z%5E%7B2%7D+%7D++%5C%5C+f%28z%29%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%28+z%5E%7B-1%7D+%29-+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%28+z%5E%7B-2%7D+%29+%5C%5C+f%27%28z%29%3D-+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%28+z%5E%7B-2%7D+%29%2B+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+%28+z%5E%7B-3%7D+%29+%5C%5C+f%27%28z%29%3D+-%5Cfrac%7B1%7D%7B2+z%5E%7B2%7D+%7D+%2B+%5Cfrac%7B2%7D%7B3+z%5E%7B3%7D+%7D++%5C%5C++%5C%5C+c%29f%28t%29%3D+%5Cfrac%7Bt-1%7D%7B+t%5E%7B2%7D%2B2t%2B1+%7D+%5C%5C+f%27%28t%29+%3D%28t-1%29%28+t%5E%7B2%7D%2B2t%2B1+%29+%5E%7B-1%7D++%5C%5C+f%27%28t%29%3D%28t-1%29%27%28t%5E%7B2%7D%2B2t%2B1+%29+%5E%7B-1%7D%2B%28t-1%29+%28+t%5E%7B2%7D%2B2t%2B1+%29+%5E%7B-1%7D+%27+%5C%5C++f%27%28t%29%3D%281-0%29%28+t%5E%7B2%7D%2B2t%2B1+%29+%5E%7B-1%7D+%2B%28t-1%29%28-1%29%28+t%5E%7B2%7D%2B2t%2B1+%29%5E%7B-2%7D+%282t%2B2%2B0%29++%5C%5C+f%27%28t%29%3D%28+t%5E%7B2%7D%2B2t%2B1+%29+%5E%7B-1%7D+-%28t-1%29%28+t%5E%7B2%7D%2B2t%2B1+%29+%5E%7B-2%7D+%282t%2B2%29+)
Podemos dejarlo hasta ahí...o puedes desarrollarlo un poco más si deseas..
![d)f(x)= \frac{3x}{ x^{3}+7x-5 } \\ f'(x)= \frac{(3x)'( x^{3}+7x-5 )-(3x)( x^{3}+7x-5 )'}{ ( x^{3}+7x-5 )^{2} } \\ f'(x)= \frac{3( x^{3}+7x-5)-(3x)(3 x^{2} +7-0)}{ ( x^{3}+7x-5 )^{2} } \\ f'(x)= \frac{3 x^{3}+21x-15-9 x^{3}-21x }{( x^{3}+7x-5 ) ^{2} } \\ f'(x)= \frac{-6 x^{3}-15 }{( x^{3}+7x-5 ) ^{2} } d)f(x)= \frac{3x}{ x^{3}+7x-5 } \\ f'(x)= \frac{(3x)'( x^{3}+7x-5 )-(3x)( x^{3}+7x-5 )'}{ ( x^{3}+7x-5 )^{2} } \\ f'(x)= \frac{3( x^{3}+7x-5)-(3x)(3 x^{2} +7-0)}{ ( x^{3}+7x-5 )^{2} } \\ f'(x)= \frac{3 x^{3}+21x-15-9 x^{3}-21x }{( x^{3}+7x-5 ) ^{2} } \\ f'(x)= \frac{-6 x^{3}-15 }{( x^{3}+7x-5 ) ^{2} }](https://tex.z-dn.net/?f=d%29f%28x%29%3D+%5Cfrac%7B3x%7D%7B+x%5E%7B3%7D%2B7x-5+%7D++%5C%5C+f%27%28x%29%3D+%5Cfrac%7B%283x%29%27%28+x%5E%7B3%7D%2B7x-5+%29-%283x%29%28+x%5E%7B3%7D%2B7x-5+%29%27%7D%7B+%28+x%5E%7B3%7D%2B7x-5+%29%5E%7B2%7D+%7D++%5C%5C+f%27%28x%29%3D+%5Cfrac%7B3%28+x%5E%7B3%7D%2B7x-5%29-%283x%29%283+x%5E%7B2%7D+%2B7-0%29%7D%7B+%28+x%5E%7B3%7D%2B7x-5+%29%5E%7B2%7D+%7D++%5C%5C+f%27%28x%29%3D+%5Cfrac%7B3+x%5E%7B3%7D%2B21x-15-9+x%5E%7B3%7D-21x++%7D%7B%28+x%5E%7B3%7D%2B7x-5+%29+%5E%7B2%7D+%7D++%5C%5C+f%27%28x%29%3D+%5Cfrac%7B-6+x%5E%7B3%7D-15+%7D%7B%28+x%5E%7B3%7D%2B7x-5+%29+%5E%7B2%7D+%7D+)
Parece que resolver la derivada del cociente de polinomio sale mejor usando la derivada del cociente...no la del producto como el ejercicio anterior...
![e)f(x)= \frac{5-4 x^{2}+ x^{5} }{ x^{3} } \\ f'(x)= \frac{(5-4 x^{2} + x^{5} )'( x^{3} )- ( x^{3} )'(5-4 x^{2} + x^{5} )}{( x^{3} ) ^{2} } \\ f'(x)= \frac{(0-8x+5 x^{4} )( x^{3} )-(3 x^{2} )(5-4 x^{2} + x^{5} )}{ x^{6} } \\ f'(x)= \frac{-8 x^{4}+5 x^{7}-15 x^{2}+12 x^{4} -3 x^{7} }{ x^{6} } \\ f'(x)= \frac{2 x^{7}+4 x^{4}-15 x^{2} }{ x^{6} } e)f(x)= \frac{5-4 x^{2}+ x^{5} }{ x^{3} } \\ f'(x)= \frac{(5-4 x^{2} + x^{5} )'( x^{3} )- ( x^{3} )'(5-4 x^{2} + x^{5} )}{( x^{3} ) ^{2} } \\ f'(x)= \frac{(0-8x+5 x^{4} )( x^{3} )-(3 x^{2} )(5-4 x^{2} + x^{5} )}{ x^{6} } \\ f'(x)= \frac{-8 x^{4}+5 x^{7}-15 x^{2}+12 x^{4} -3 x^{7} }{ x^{6} } \\ f'(x)= \frac{2 x^{7}+4 x^{4}-15 x^{2} }{ x^{6} }](https://tex.z-dn.net/?f=e%29f%28x%29%3D+%5Cfrac%7B5-4+x%5E%7B2%7D%2B+x%5E%7B5%7D++%7D%7B+x%5E%7B3%7D+%7D++%5C%5C+f%27%28x%29%3D+%5Cfrac%7B%285-4+x%5E%7B2%7D+%2B+x%5E%7B5%7D+%29%27%28+x%5E%7B3%7D+%29-+%28+x%5E%7B3%7D+%29%27%285-4+x%5E%7B2%7D+%2B+x%5E%7B5%7D+%29%7D%7B%28+x%5E%7B3%7D+%29+%5E%7B2%7D+%7D++%5C%5C+f%27%28x%29%3D+%5Cfrac%7B%280-8x%2B5+x%5E%7B4%7D+%29%28+x%5E%7B3%7D+%29-%283+x%5E%7B2%7D+%29%285-4+x%5E%7B2%7D+%2B+x%5E%7B5%7D+%29%7D%7B+x%5E%7B6%7D+%7D++%5C%5C+f%27%28x%29%3D+%5Cfrac%7B-8+x%5E%7B4%7D%2B5+x%5E%7B7%7D-15+x%5E%7B2%7D%2B12+x%5E%7B4%7D+-3+x%5E%7B7%7D++++%7D%7B+x%5E%7B6%7D+%7D++%5C%5C+f%27%28x%29%3D+%5Cfrac%7B2+x%5E%7B7%7D%2B4+x%5E%7B4%7D-15+x%5E%7B2%7D+++%7D%7B+x%5E%7B6%7D+%7D+)
![f)f(x)=4 \sqrt{ x^{5} } + \frac{2}{ \sqrt{x} } \\ f(x)=4 x^{ \frac{5}{2} } +2( x^{- \frac{1}{2} } ) \\ f'(x)= (\frac{5}{2} )4 x^{ \frac{3}{2} } -( \frac{1}{2} )2 x^{ -\frac{3}{2} } \\ f'(x)=10 x^{ \frac{3}{2} } - x^{- \frac{3}{2} } \\ f'(x)=10 \sqrt[2]{ x^{3} } - \frac{1}{\sqrt[2]{ x^{3} } } f)f(x)=4 \sqrt{ x^{5} } + \frac{2}{ \sqrt{x} } \\ f(x)=4 x^{ \frac{5}{2} } +2( x^{- \frac{1}{2} } ) \\ f'(x)= (\frac{5}{2} )4 x^{ \frac{3}{2} } -( \frac{1}{2} )2 x^{ -\frac{3}{2} } \\ f'(x)=10 x^{ \frac{3}{2} } - x^{- \frac{3}{2} } \\ f'(x)=10 \sqrt[2]{ x^{3} } - \frac{1}{\sqrt[2]{ x^{3} } }](https://tex.z-dn.net/?f=f%29f%28x%29%3D4+%5Csqrt%7B+x%5E%7B5%7D+%7D+%2B+%5Cfrac%7B2%7D%7B+%5Csqrt%7Bx%7D+%7D++%5C%5C+f%28x%29%3D4+x%5E%7B+%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D+%7D+%2B2%28+x%5E%7B-+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%7D+%29+%5C%5C+f%27%28x%29%3D+%28%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D+%294+x%5E%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%7D+-%28++%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D++%292+x%5E%7B+-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%7D++%5C%5C+f%27%28x%29%3D10+x%5E%7B+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%7D+-+x%5E%7B-+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D+%7D++%5C%5C+f%27%28x%29%3D10+%5Csqrt%5B2%5D%7B+x%5E%7B3%7D+%7D+-++%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%5B2%5D%7B+x%5E%7B3%7D+%7D+%7D+)
Y eso sería todo..espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas
Para resolver éstas derivadas podemos hacerlo por dos caminos, el primero es aplicando la derivada del producto el otro es; antes de derivar multiplicar término a término y luego tendríamos un polinomio y eso seria más fácil de derivar...
Ahora vamos primero a multiplicar término a término y deberemos llegar al mismo resultado...
Como ves, llegamos a lo mismo....para los siguientes casos...vamos a usar el segundo método, se ve más práctico
Podemos dejarlo hasta ahí...o puedes desarrollarlo un poco más si deseas..
Parece que resolver la derivada del cociente de polinomio sale mejor usando la derivada del cociente...no la del producto como el ejercicio anterior...
Y eso sería todo..espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas
Mafisterv:
Muchas Gracias!!!
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