Question

Ayuda por favor con estos terceros ejercicios de calculo diferencial. Con procedimiento y propiedad aplicada en los ejercicios. gracias.

Determine la derivada de las siguientes funciones (Ver Imagen)

Answer 1

Para resolver éstos ejercicios vamos a aplicar todo lo que hemos visto de la primera y segunda tarea...adicionalmente algunas cosas que iremos viendo en el camino....

Para resolver éstas derivadas podemos hacerlo por dos caminos, el primero es aplicando la derivada del producto el otro es; antes de derivar multiplicar término a término y luego tendríamos un polinomio y eso seria más fácil de derivar...

$a)f(t)=( t^{2}+1 )( t^{3} +t^{2}+1) \\ f'(t)=( t^{2}+1 )'(t^{3}+ t^{2}+1 )+( t^{3}+ t^{2}+1 )'( t^{2}+1 ) \\ f'(t)=(2t+0)( t^{3}+ t^{2}+1 )+(3 t^{2}+2t+0 )( t^{2}+1 ) \\ f'(t)=(2t)( t^{3}+ t^{2}+1 )+(3 t^{2}+2t )( t^{2}+1 ) \\ f'(t)=2 t^{4} +2 t^{3} +2t+3 t^{4} +3 t^{2} +2 t^{3} +2t \\ f'(t)=5 t^{4} +4 t^{3} +3 t^{2} +4t$

Ahora vamos primero a multiplicar término a término y deberemos llegar al mismo resultado...

$f(t)=( t^{2}+1 )( t^{3}+ t^{2} +1 ) \\ f(t)= t^{5} + t^{4} + t^{2} + t^{3} + t^{2} +1 \\ f(t)= t^{5} + t^{4}+ t^{3} +2 t^{2} +1 \\ f'(t)=5 t^{4} +4 t^{3} +3 t^{2} +4t$

Como ves, llegamos a lo mismo....para los siguientes casos...vamos a usar el segundo método, se ve más práctico

$b)f(z)= \frac{1}{2z} - \frac{1}{3 z^{2} } \\ f(z)= \frac{1}{2} ( z^{-1} )- \frac{1}{3} ( z^{-2} ) \\ f'(z)=- \frac{1}{2} ( z^{-2} )+ \frac{2}{3} ( z^{-3} ) \\ f'(z)= -\frac{1}{2 z^{2} } + \frac{2}{3 z^{3} } \\ \\ c)f(t)= \frac{t-1}{ t^{2}+2t+1 } \\ f'(t) =(t-1)( t^{2}+2t+1 ) ^{-1} \\ f'(t)=(t-1)'(t^{2}+2t+1 ) ^{-1}+(t-1) ( t^{2}+2t+1 ) ^{-1} ' \\ f'(t)=(1-0)( t^{2}+2t+1 ) ^{-1} +(t-1)(-1)( t^{2}+2t+1 )^{-2} (2t+2+0) \\ f'(t)=( t^{2}+2t+1 ) ^{-1} -(t-1)( t^{2}+2t+1 ) ^{-2} (2t+2)$

Podemos dejarlo hasta ahí...o puedes desarrollarlo un poco más si deseas..

$d)f(x)= \frac{3x}{ x^{3}+7x-5 } \\ f'(x)= \frac{(3x)'( x^{3}+7x-5 )-(3x)( x^{3}+7x-5 )'}{ ( x^{3}+7x-5 )^{2} } \\ f'(x)= \frac{3( x^{3}+7x-5)-(3x)(3 x^{2} +7-0)}{ ( x^{3}+7x-5 )^{2} } \\ f'(x)= \frac{3 x^{3}+21x-15-9 x^{3}-21x }{( x^{3}+7x-5 ) ^{2} } \\ f'(x)= \frac{-6 x^{3}-15 }{( x^{3}+7x-5 ) ^{2} }$

Parece que resolver la derivada del cociente de polinomio sale mejor usando la derivada del cociente...no la del producto como el ejercicio anterior...

$e)f(x)= \frac{5-4 x^{2}+ x^{5} }{ x^{3} } \\ f'(x)= \frac{(5-4 x^{2} + x^{5} )'( x^{3} )- ( x^{3} )'(5-4 x^{2} + x^{5} )}{( x^{3} ) ^{2} } \\ f'(x)= \frac{(0-8x+5 x^{4} )( x^{3} )-(3 x^{2} )(5-4 x^{2} + x^{5} )}{ x^{6} } \\ f'(x)= \frac{-8 x^{4}+5 x^{7}-15 x^{2}+12 x^{4} -3 x^{7} }{ x^{6} } \\ f'(x)= \frac{2 x^{7}+4 x^{4}-15 x^{2} }{ x^{6} }$

$f)f(x)=4 \sqrt{ x^{5} } + \frac{2}{ \sqrt{x} } \\ f(x)=4 x^{ \frac{5}{2} } +2( x^{- \frac{1}{2} } ) \\ f'(x)= (\frac{5}{2} )4 x^{ \frac{3}{2} } -( \frac{1}{2} )2 x^{ -\frac{3}{2} } \\ f'(x)=10 x^{ \frac{3}{2} } - x^{- \frac{3}{2} } \\ f'(x)=10 \sqrt[2]{ x^{3} } - \frac{1}{\sqrt[2]{ x^{3} } }$

Y eso sería todo..espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas