Ayuda por favor con estos otros ejercicios de calculo diferencial. Con procedimiento y propiedad aplicada en los ejercicios. gracias.
Determine la derivada de las siguientes funciones (Ver Imagen)
Adjuntos:
![](https://es-static.z-dn.net/files/d1c/a2d1a2e943effcfb59ad8155f780fa82.jpg)
Respuestas
Respuesta dada por:
1
Para las siguientes derivadas vamos a aplicar las propiedades de la derivada:
La derivada del producto de dos funciones.
![f(x)=(u)(v) \\ f'(x)=(u')(v)+(v')(u) f(x)=(u)(v) \\ f'(x)=(u')(v)+(v')(u)](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D%28u%29%28v%29+%5C%5C+f%27%28x%29%3D%28u%27%29%28v%29%2B%28v%27%29%28u%29)
También la derivada del cociente
![f(x)= \frac{u}{v} \\ f'(x)= \frac{(u')(v)-(v')(u)}{ v^{2} } f(x)= \frac{u}{v} \\ f'(x)= \frac{(u')(v)-(v')(u)}{ v^{2} }](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D+%5Cfrac%7Bu%7D%7Bv%7D++%5C%5C+f%27%28x%29%3D+%5Cfrac%7B%28u%27%29%28v%29-%28v%27%29%28u%29%7D%7B+v%5E%7B2%7D+%7D+)
La derivada de un cociente también podemos derivarla como un producto:
![f(x)= \frac{u}{v} =u v^{-1} \\ f'(x)=(u')( v^{-1} )+( v^{-1} ')(u) f(x)= \frac{u}{v} =u v^{-1} \\ f'(x)=(u')( v^{-1} )+( v^{-1} ')(u)](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D+%5Cfrac%7Bu%7D%7Bv%7D+%3Du+v%5E%7B-1%7D++%5C%5C+f%27%28x%29%3D%28u%27%29%28+v%5E%7B-1%7D+%29%2B%28+v%5E%7B-1%7D+%27%29%28u%29)
Listo con todo ésto y las derivadas que mencioné en la tarea anterior..vamos a resolver..
![a)f(x)=x e^{x} \\ f'(x)=(x')( e^{x} )+( e^{x}' )(x) \\ f'(x)=(1) e^{x} +( e^{x} )(x) \\ f'(x)= e^{x} +x e^{x} \\ \\ b)f(x)= x^{2} ln(x) \\ f'(x)=( x^{2} ')(ln(x))+(ln(x)')( x^{2} ) \\ f'(x)=2x(ln(x))+ \frac{1}{x} x^{2} \\ f'(x)=2xln(x)+x \\ \\ c)f(x)= \frac{ x^{4} }{ e^{x} } \\ f(x)= x^{4} e^{-x} \\ f'(x)=( x^{4}' )( e^{-x} )+( e^{-x} ')( x^{4} ) \\ f'(x)=4 x^{3} e^{-x} - e^{-x} x^{4} \\ \\ a)f(x)=x e^{x} \\ f'(x)=(x')( e^{x} )+( e^{x}' )(x) \\ f'(x)=(1) e^{x} +( e^{x} )(x) \\ f'(x)= e^{x} +x e^{x} \\ \\ b)f(x)= x^{2} ln(x) \\ f'(x)=( x^{2} ')(ln(x))+(ln(x)')( x^{2} ) \\ f'(x)=2x(ln(x))+ \frac{1}{x} x^{2} \\ f'(x)=2xln(x)+x \\ \\ c)f(x)= \frac{ x^{4} }{ e^{x} } \\ f(x)= x^{4} e^{-x} \\ f'(x)=( x^{4}' )( e^{-x} )+( e^{-x} ')( x^{4} ) \\ f'(x)=4 x^{3} e^{-x} - e^{-x} x^{4} \\ \\](https://tex.z-dn.net/?f=a%29f%28x%29%3Dx+e%5E%7Bx%7D++%5C%5C+f%27%28x%29%3D%28x%27%29%28+e%5E%7Bx%7D+%29%2B%28+e%5E%7Bx%7D%27+%29%28x%29+%5C%5C+f%27%28x%29%3D%281%29+e%5E%7Bx%7D+%2B%28+e%5E%7Bx%7D+%29%28x%29+%5C%5C+f%27%28x%29%3D+e%5E%7Bx%7D+%2Bx+e%5E%7Bx%7D++%5C%5C++%5C%5C+b%29f%28x%29%3D+x%5E%7B2%7D+ln%28x%29+%5C%5C+f%27%28x%29%3D%28+x%5E%7B2%7D+%27%29%28ln%28x%29%29%2B%28ln%28x%29%27%29%28+x%5E%7B2%7D+%29+%5C%5C+f%27%28x%29%3D2x%28ln%28x%29%29%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D++x%5E%7B2%7D++%5C%5C+f%27%28x%29%3D2xln%28x%29%2Bx+%5C%5C++%5C%5C+c%29f%28x%29%3D+%5Cfrac%7B+x%5E%7B4%7D+%7D%7B+e%5E%7Bx%7D+%7D++%5C%5C+f%28x%29%3D+x%5E%7B4%7D++e%5E%7B-x%7D++%5C%5C+f%27%28x%29%3D%28+x%5E%7B4%7D%27+%29%28+e%5E%7B-x%7D+%29%2B%28+e%5E%7B-x%7D+%27%29%28+x%5E%7B4%7D+%29+%5C%5C+f%27%28x%29%3D4+x%5E%7B3%7D++e%5E%7B-x%7D+-+e%5E%7B-x%7D++x%5E%7B4%7D++%5C%5C++%5C%5C+)
![d)f(x)= \frac{ e^{x} }{ln(x)} \\ f'(x)= \frac{( e^{x} ')(ln(x))-(ln(x)')( e^{x} )}{ (ln(x))^{2} } \\ f'(x) = \frac{ e^{x}ln(x)- \frac{1}{x} e^{x} }{(ln(x) )^{2}} \\ f'(x)= \frac{ e^{x}ln(x)- \frac{ e^{x} }{x} }{(ln(x)) ^{2} } \\ \\ e)f(x)= \frac{ln(x)}{x} \\ f(x)= ln(x) x^{-1} \\ f'(x)=(ln(x)')( x^{-1} )+( x^{-1}' )(ln(x)) \\ f'(x)= \frac{1}{x} x^{-1} -1 x^{-2} (ln(x)) \\ f'(x)= \frac{1}{ x^{2} } - \frac{ln(x)}{ x^{2} } = \frac{1-ln(x)}{ x^{2} } \\ \\ d)f(x)= \frac{ e^{x} }{ln(x)} \\ f'(x)= \frac{( e^{x} ')(ln(x))-(ln(x)')( e^{x} )}{ (ln(x))^{2} } \\ f'(x) = \frac{ e^{x}ln(x)- \frac{1}{x} e^{x} }{(ln(x) )^{2}} \\ f'(x)= \frac{ e^{x}ln(x)- \frac{ e^{x} }{x} }{(ln(x)) ^{2} } \\ \\ e)f(x)= \frac{ln(x)}{x} \\ f(x)= ln(x) x^{-1} \\ f'(x)=(ln(x)')( x^{-1} )+( x^{-1}' )(ln(x)) \\ f'(x)= \frac{1}{x} x^{-1} -1 x^{-2} (ln(x)) \\ f'(x)= \frac{1}{ x^{2} } - \frac{ln(x)}{ x^{2} } = \frac{1-ln(x)}{ x^{2} } \\ \\](https://tex.z-dn.net/?f=d%29f%28x%29%3D+%5Cfrac%7B+e%5E%7Bx%7D+%7D%7Bln%28x%29%7D++%5C%5C+f%27%28x%29%3D++%5Cfrac%7B%28+e%5E%7Bx%7D+%27%29%28ln%28x%29%29-%28ln%28x%29%27%29%28+e%5E%7Bx%7D+%29%7D%7B+%28ln%28x%29%29%5E%7B2%7D+%7D++%5C%5C+f%27%28x%29+%3D+%5Cfrac%7B+e%5E%7Bx%7Dln%28x%29-+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D+e%5E%7Bx%7D+++%7D%7B%28ln%28x%29++%29%5E%7B2%7D%7D++%5C%5C+f%27%28x%29%3D+%5Cfrac%7B+e%5E%7Bx%7Dln%28x%29-+%5Cfrac%7B+e%5E%7Bx%7D+%7D%7Bx%7D++%7D%7B%28ln%28x%29%29+%5E%7B2%7D+%7D++%5C%5C++%5C%5C+e%29f%28x%29%3D+%5Cfrac%7Bln%28x%29%7D%7Bx%7D++%5C%5C+f%28x%29%3D+ln%28x%29+x%5E%7B-1%7D++%5C%5C+f%27%28x%29%3D%28ln%28x%29%27%29%28+x%5E%7B-1%7D+%29%2B%28+x%5E%7B-1%7D%27+%29%28ln%28x%29%29+%5C%5C+f%27%28x%29%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D++x%5E%7B-1%7D+-1+x%5E%7B-2%7D+%28ln%28x%29%29+%5C%5C+f%27%28x%29%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B+x%5E%7B2%7D+%7D+-+%5Cfrac%7Bln%28x%29%7D%7B+x%5E%7B2%7D+%7D+%3D+%5Cfrac%7B1-ln%28x%29%7D%7B+x%5E%7B2%7D+%7D++%5C%5C++%5C%5C+)
![f)f(x)= x^{2} 2^{x} \\ f'(x)=( x^{2} ')( 2^{x} )+( x^{2} )( 2^{x}' ) \\ f'(x)=2x( 2^{x} )+ x^{2} ( 2^{x}ln(2) ) f)f(x)= x^{2} 2^{x} \\ f'(x)=( x^{2} ')( 2^{x} )+( x^{2} )( 2^{x}' ) \\ f'(x)=2x( 2^{x} )+ x^{2} ( 2^{x}ln(2) )](https://tex.z-dn.net/?f=f%29f%28x%29%3D+x%5E%7B2%7D++2%5E%7Bx%7D++%5C%5C+f%27%28x%29%3D%28+x%5E%7B2%7D+%27%29%28+2%5E%7Bx%7D+%29%2B%28+x%5E%7B2%7D+%29%28+2%5E%7Bx%7D%27+%29+%5C%5C+f%27%28x%29%3D2x%28+2%5E%7Bx%7D+%29%2B+x%5E%7B2%7D+%28+2%5E%7Bx%7Dln%282%29+%29)
La última derivada no la mencioné es ésta..
![f(x)= a^{x} \\ f'(x)= a^{x} ln(a) f(x)= a^{x} \\ f'(x)= a^{x} ln(a)](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D+a%5E%7Bx%7D++%5C%5C+f%27%28x%29%3D+a%5E%7Bx%7D+ln%28a%29)
Espero te sirva y si tienes alguna pregunta me avisas
La derivada del producto de dos funciones.
También la derivada del cociente
La derivada de un cociente también podemos derivarla como un producto:
Listo con todo ésto y las derivadas que mencioné en la tarea anterior..vamos a resolver..
La última derivada no la mencioné es ésta..
Espero te sirva y si tienes alguna pregunta me avisas
Mafisterv:
Muchas Gracias!!!
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