AUDAAA PLISS DOY 30 PUNTOS
Determina el Mínimo Común Múltiplo de los siguientes números:
A) 4 y 9
B) 2 y 7
C) 16 y 84
D) 16 y 20
E) 18 y 24
F) 22 y 30
Respuestas
Respuesta:
1Descomponemos los números en factores primos
{\begin{array}{ccccccc}\begin{tabular}{c|c} 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{tabular} & & & \begin{tabular}{c|c} 108 & 2 \\ 54 & 2 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{tabular} & & & \begin{tabular}{c|c} 60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \\ & \end{tabular} \end{array}}
Así, los números se escriben de la forma
{\begin{array}{rcl} 72 & = & 2^3 \cdot 3^2 \\\\ 108 & = & 2^2 \cdot 3^3 \\\\ 60 & = & 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \end{array}}
2Los factores comunes con menor exponente son {2^2, 3}
3Para calcular el {m.c.d.} multiplicamos los factores comunes con menor exponente
{m.c.d.(72, 108, 60) = 2^2 \cdot 3 = 12}
Hay que notar que si un número es divisor de otro, entonces éste es el {m.c.d.} de ambos
Ejemplo: El número {12} es divisor de {36}, por lo que {m.c.d.(12, 36) = 12}
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo {m.c.m.} es el menor de todos múltiplos comunes a varios números, excluido el cero.
Cálculo del mínimo común múltiplo
1Se descomponen los números en factores primos.
2Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
3Se multiplican los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
Ejemplo: Hallar el {m. c. m.} de: {72, 108} y {60}.
1Descomponemos los números en factores primos
{\begin{array}{ccccccc}\begin{tabular}{c|c} 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{tabular} & & & \begin{tabular}{c|c} 108 & 2 \\ 54 & 2 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{tabular} & & & \begin{tabular}{c|c} 60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \\ & \end{tabular} \end{array}}
Así, los números se escriben de la forma
{\begin{array}{rcl} 72 & = & 2^3 \cdot 3^2 \\\\ 108 & = & 2^2 \cdot 3^3 \\\\ 60 & = & 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \end{array}}
2Los factores comunes y no comunes con mayor exponente son {2^3, 3^3, 5}
3Para calcular el {m.c.m.} multiplicamos los factores comunes y no comunes con mayor exponente
{m.c.m.(72, 108, 60) = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 = 1 080}
Así, {1,080} es el menor número que puede ser dividido por {72, 108} y {60}.
Hay que notar que si un número es múltiplo de otro, entonces éste es el {m.c.m.} de ambos
Ejemplo: El número {36} es múltplo de {12}, por lo que {m.c.m.(12, 36) = 36}
Relación entre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo
Dado que el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo están formados por el producto de los factores comunes con menor exponente y el producto de los factores comunes y no comunes con mayor exponente, respectivamente, entonces
{\left[ m.c.d.(a, b) \right] \cdot \left[ m.c.m.(a, b) \right] = a \cdot b}
Ejercicios propuestos
1Calcular el {m.c.d.} y {m.c.m.} de {428} y {376}
Solución
2Calcular el {m.c.d.} y {m.c.m.} de {148} y {156}
Solución
3Calcular el {m.c.d.} y {m.c.m.} de {600} y {1000}
Solución
4Calcular el {m.c.d.} y {m.c.m.} de {1048, 786} y {3 930}
Solución
5Calcular el {m.c.d.} y {m.c.m.} de {3 120, 6 200} y {1 864}
Solución
6Un faro se enciende cada {12} segundos, otro cada {18} segundos y un tercero cada minuto. A las {6:30} de la tarde los tres coinciden. ¿A qué hora volveran a coincidir nuevamente?
Solución
7Un viajero va a Barcelona cada {18} días y otro cada {24} días. Hoy han estado los dos en Barcelona. ¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona?
Solución
8¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por {15, 20, 36} y {48} en cada caso da de resto {9}?
Solución
9En una bodega hay {3} toneles de vino, cuyas capacidades son {250, 360, 540} litros respectivamente. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.
Solución
10El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene {5 \ m} de largo y {3 \ m} de ancho. Calcula el lado en decímetros y el número de baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas.
Solución
11Un comerciante desea poner en cajas {12 028} manzanas y {12 772} naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.
Solución
12¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de {8 \ m} de longitud y {6.4 \ m} de anchura? ¿Y cuántas baldosas se necesitan?
Solución
Explicación paso a paso:
Respuesta:
A) 36
B) 14
C) 1344
D) 320
E) 432
F) 660
Explicación paso a paso:
Esta son las respuestas amigo,