Question

Determine los valores de m tal que la ecuación cuadrática no tenga solución en R:
x^2+2(m-1)x+m^2=0

Answer 1

Para que cualquier ecuación de 2º grado no tenga solución dentro de los números reales ha de ocurrir que el discriminante sea menor que cero, es decir, el radicando, lo que está dentro de la raíz ya que entraríamos en el campo de los números complejos.

No existe ningún número real para una raíz con radicando negativo.

Si acudimos a la fórmula general:
$x_{1}, x_{2} = \frac{-b(+-) \sqrt{ b^{2} -4ac} }{2a}$

El discriminante es: $b^{2} -4ac}$  ... donde...
a = 1
b = 2·(m-1)
c = m² 

Y tiene que ocurrir esto: $b^{2} -4ac}\ \textless \ 0$

sustituyo esos términos en la fórmula y tengo...
$[2*(m-1)^2 - 4*1*m^2]<0$ ... desarrollando esto...

$2*(m-1)^2 - 4*1*m^2\ \textless \ 0 \\ \\ 4*(m^2+1-2m)-4m^2\ \textless \ 0 \\ \\ 4m^2-8m+4-4m^2\ \textless \ 0 \\ \\ -8m+4\ \textless \ 0 \\ \\ 4\ \textless \ 8m \\ \\ m\ \textgreater \ \frac{4}{8} \ \textgreater \ \frac{1}{2}$

Lo que significa que "m" debe tomar valores mayores a 1/2 para que se cumpla la condición exigida.

En cualquier caso te pediría que revisaras y contrastaras el final ya que no estoy muy puesto en inecuaciones aunque creo que funcionan de manera similar a las ecuaciones normales.

Saludos.