si ha un poligono se le aplica una homotecia directa con 0 < k < 1 ¿que afirmacion es siempre verdadera?
Respuestas
Respuesta:
Sea B un espacio vectorial sobre un cuerpo {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {K} }\scriptstyle {\mathbb {K}}. Sea X un elemento (visto como un punto) de E. La homotecía de centro C y de razón k, denotada {\displaystyle \scriptstyle h_{C,k}}{\displaystyle \scriptstyle h_{C,k}} envía un punto M del espacio sobre el punto M' tal que:
(1a){\displaystyle M'-C=k(M-C)\,}{\displaystyle M'-C=k(M-C)\,}
La anterior puede también ser una transformación afín de la forma:
(1b){\displaystyle M'=kM+(1-k)C\,}{\displaystyle M'=kM+(1-k)C\,}
La anterior relación puede escribirse vectorialmente en el plano como:
{\displaystyle {\begin{bmatrix}m'_{x}\\m'_{y}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k&0&(1-k)c_{x}\\0&k&(1-k)c_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}m_{x}\\m_{y}\\1\end{bmatrix}}}{\displaystyle {\begin{bmatrix}m'_{x}\\m'_{y}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k&0&(1-k)c_{x}\\0&k&(1-k)c_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}m_{x}\\m_{y}\\1\end{bmatrix}}}
Donde: {\displaystyle M'=(m'_{x},m'_{y})\,}{\displaystyle M'=(m'_{x},m'_{y})\,}, {\displaystyle M=(m_{x},m_{y})\,}{\displaystyle M=(m_{x},m_{y})\,} y {\displaystyle C=(c_{x},c_{y})\,}{\displaystyle C=(c_{x},c_{y})\,}.
En tres o más dimensiones la fórmula anterior se generaliza trivialmente.
La homotecia es una cosa proporcional como yo afín de una composición de una transformación lineal y una traslación, y por consiguiente conserva:
el alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A', B', C') en la figura
el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C']
La imagen de línea es otra línea paralela a la original.
el paralelismo: dos líneas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (B'E') // (C'D') porque (BE) //(CD).
Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos).
k = - 1 corresponde a una simetría de centro C.
Si k ≠ 0, {\displaystyle \scriptstyle h_{C,k}}{\displaystyle \scriptstyle h_{C,k}} admite como trasformación recíproca {\displaystyle \scriptstyle h_{C,1/k}}{\displaystyle \scriptstyle h_{C,1/k}} (cuando k = 0, no es biyectiva).
Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias iniciales: {\displaystyle \scriptstyle h_{C,k}}{\displaystyle \scriptstyle h_{C,k}} o {\displaystyle \scriptstyle h_{C,k'}}{\displaystyle \scriptstyle h_{C,k'}} = {\displaystyle \scriptstyle h_{C,k\cdot k'}}{\displaystyle \scriptstyle h_{C,k\cdot k'}}.
Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una homotecia de razón k·k' cuando k·k'≠1, y una traslación si k·k'=1. El conjunto de las homotecias (con k≠0) y las translaciones forman un grupo.
Cuando K es mayor que cero es k mayor Cuando el cuerpo de escalares son los Reales, se cumple que:
k = - 1 corresponde a la simetría de centro C que es la rotación alrededor de C de ángulo π radianes (180º).
|k| > 1 implica una ampliación de la figura.
|k| < 1 implica una reducción.
k < 0, la homotecia se puede expresar como la composición de una simetría con una homotecia de razón |k|, ambas de igual centro. Que la homotecia original.
Homotecias en el plano real
Homotecia
En esta sección, los escalares serán números reales.
Consideremos la homotecia en la cual la recta OA se transforma en la recta O'B, siendo O' el homólogo de O y B el homólogo de A. Necesariamente, las rectas OO' y AB son invariantes en esta homotecia y el punto H1, centro de la homotecia, es invariante. En esta homotecia la circunferencia de centro O y radio OA se transforma en la circunferencia de centro O' y de radio O'B y la razón de la homotecia es la razón (positiva) de los segmentos O'B y OA.
Si por el contrario, el punto A se transforma en B' entonces la recta AB' es invariante y es el punto H2 el centro de homotecia. En este caso, la razón de la homotecia es negativa.
Consideremos las homotecias, una con centro en P1 en la cual la circunferencia S2 es homotética de la circunferencia s1, y la homotecia de centro P3 en la que la circunferencia s3 es homotética a la circunferencia s2. La composición de estas dos homotecias es la homotecia de centro en P2 que transforma la circunferencia s1 en la circunferencia s3. Es por esta razón que los centros de homotecia positivos, P1, P2 y P3 están alineados. En general, dadas tres circunferencias existen seis centros de homotecia, alineados tres a tres sobre cuatro rectas.
Explicación paso a paso:ojala te sirva