Question

Me podrían ayudar con estos tres ejercicios ​

Answer 1

Respuesta:

1. MT⁻¹
2. Sí es dimensionalmente correcta.

Explicación:

Tema: Análisis dimensional.

Recordemos lo siguiente.

$\section*{An\'alisis dimensional.-}$

$\fbox{Nota}$

• Para poder establecer la fórmula dimensional de cualquier magnitud siempre se le debe poner entre corchetes.
• En ejercicios sobre Análisis dimensional usamos mucho las Leyes de exponentes.

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_

$\bold{Resolviendo\:los\:ejercicios}$

$\text{Primer ejercicio}$

→ En la ecuación física

$\text{P}=\dfrac{\text{x}\text{v}^{\text{Sec60}} }{2\pi\text{ r}}$ Donde: x = masa; v = velocidad; r = radio, ¿Cuáles son las dimensiones de P?

• A todas las magnitudes y números les colocamos entre corchetes para dar a entender que queremos establecer la fórmula dimensional de cada uno de ellos.

$[\text{P}]=\dfrac{[\text{Masa}]\times[\text{Velocidad}]^{[\text{Sec60}]} }{[2]\times[\pi ]\times[\text{Radio}]}$

• Todo número, exponente es adimensional, esto quiere que la fórmula dimensional de todo número, exponente, logaritmo, etc. siempre será uno. Por lo que [Sec60] = 1; [2] = 1; [π] = 1
• [Masa] = M
• [Velocidad] = LT⁻¹
• [Radio] = L

$[\text{P}]=\dfrac{\text{M}\times(\text{L}\text{T}^{-1})^{1} }{1\times1\times\text{L}}$

• Como (LT⁻¹)¹ está elevado a uno sigue siendo el mismo.

• Multiplicamos.

$[\text{P}]=\dfrac{\text{M}\text{L}\text{T}^{-1} }{\text{L}}$

• En Análisis dimensional nunca una fórmula dimensional debe quedar como fracción, al denominador pasa a multiplicar al numerador y los signos de los exponentes del denominador se cambian a su contrario.

$[\text{P}]=\text{ML}\text{T}^{-1} \times\text{L}^{-1}$

• Multiplicamos por Leyes de exponentes.

$[\text{P}]=\text{M}\text{T}^{-1} \text{L}^{1-1} \longrightarrow [\text{P}]=\text{M}\text{T}^{-1}\text{L}^{0}$ ⇒ $[\text{P}]=\boxed{\bold{\text{M}\text{T}^{-1}}}$

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$\text{Segundo ejercicio}$

→ Determine la siguiente ecuación si es dimensionalmente correcta

$\text{y}=\dfrac{1}{2} \text{g}\text{t}^{2}$ donde: y = Altura; g = aceleración de la gravedad; t = tiempo

• A todas las magnitudes les colocamos corchetes.

$[\text{Altura}]=[\dfrac{1}{2} ][\text{Aceleraci\'on de la gravedad }][ \text{Tiempo}]^{2}$

• Toda fracción es adimensional porque una fracción es un número, por lo que [1/2] = 1.
• [Altura] = L
• [Aceleración de la gravedad] = L/T²
• [Tiempo] = T

$\text{L}= 1\times\dfrac{\text{L}}{\text{T}^{2} } \times(\text{T})^{2}$

• Como (T)² solo le sacamos los paréntesis.

$\text{L}=\dfrac{\text{L}}{\text{T}^{2} } \times \text{T}^{2}$

• Como abajo hay T² y arriba también hay T² ambos se cancelan.

$\boxed{\bold\text{L}= \text{L}}$

• Como podemos ver, nos salió que longitud es igual a longitud por lo que la ecuación es dimensionalmente correcta.

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