Question

Dados los puntos A = (1.4); B = (3, 1); C = (5,7). Determinar la distancia del punto A a la
recta que pasa por los puntos By C.​

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Primero Calculamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos

B = (3, 1); C = (5,7).  Mediante la fórmula:

$y-y_{1} = \frac{y_{2}- y_{1} }{x_{2}-x_{1}} (x-x_{1})$  ,

 donde:   $x_{1}=3 , y _{1}=1 , x_{2}=5, y _{2}=7$

Sustituyendo estos valores en la fórmula nos queda:

$y-1 = \frac{7- 1 }{ 5-3} (x-3)\\\\y-1 = \frac{6 }{ 2} ( x-3)$

y-1 = 3 ( x-3)

y-1 = 3x-9

0=3x-9-y+1

0=3x-y-8

3x-y-8=0   (esta es la ecuación general de la recta que pasa por los puntos  

                   B = (3, 1); C = (5,7).                        

La distancia de un punto a una recta es la longitud de un segmento que, partiendo del punto del plano, sea perpendicular a la recta. Para que la longitud de ese segmento sea la mínima, el segmento y la recta deben de ser perpendiculares.

La fórmula para calcular la distancia entre la  recta  y el punto es:

$d= |\frac{A .x_{p}+B .y _{p}+C }{ A^{2} -B^{2} } |$ ,  

De la ecuación general de la recta obtenemos loa valores  A=3 , B= -1, C= -8    y   el punto  $P(x_{p}, y _{p})$  es igual al punto A= (1,4)   donde     $x_{p} =1 , y _{p}=4$

Sustituyendo estos valores en la fórmula nos queda:

$d= |\frac{3. 1+(-1). 4+(-8) }{ \sqrt{(3) ^{2} -(-1) ^{2}} } | \\\\d= |\frac{3-4-8 }{ \sqrt{9- 1} } | \\\\d= |\frac{-9 }{ \sqrt{8} } |$

$d= \frac{9 }{\sqrt{8} }$

La distancia del punto A  a  la recta que pasa por los puntos By C. es : $d= \frac{9 }{\sqrt{8} }$