Question

|a + 1| < |a|+ 1 para todo a ∈ R

es falsa o verdadera la desigualdad, y como comprobarlo?

Answer 1

Es un caso particular de la demostración de la desigualdad triangular...Podrías resolverlo por ahí pero es un nivel de abstracción un poco más larga..

Utilicemos herramientas más fáciles..
como se trata de valores absolutos, si recuerdas en el cálculo del dominio de una función tenemos que realizar una tabla que nos quedaría así..

Te lo dejo en la imagen de abajo...

consideramos  cada uno de las expresiones donde se hacen cero..y esos son los intervalos donde debemos estudiar que es lo que pasa...

Y tenemos tres intervalos..fíjate que la expresión original dice MENOR QUE...no dice menor o IGUAL por ésta razón no podemos considerar ningún punto donde se haga cero...por eso los intervalos son todos abiertos¡...

Para el primer intervalo mira que no hay problema si se cumple la desigualdad, 
Para el segundo intervalo, ya nos aparece una condición nos exige que...quieres que esa desigualdad se cumpla en éste intervalo?...listo.."a" tiene que ser menor que cero...por lo tanto de éstos intervalos que hemos obtenido que podemos concluir?...decimos que la desigualdad si funciona en éstos dos intervalos...

Para el tercer intervalo que sucedió?...nos quedo que 1 es menor que 1...eso no es verdad...1 es menor o igual que 1...pero no es el caso..

por lo tanto en éste intervalo de 0 a más infinito esa desigualdad no es verdadera¡..deja de funcionar¡..

Por lo tanto el ejercicio nos dice para todo "a" debe funcionar.... nosotros hemos expuesto un contraejemplo..."mira es éste intervalo no funciona"...por lo tanto es Falsa...

Nota: era fácil de darse cuenta porque?...esa desigualdad está incompleta...se trata de la desigualdad triangular...y para que esa sea verdadera...debe pasar lo siguiente, si te fijas porque no funcionó el último intervalo?....hubiese sido verdad si tan solo hubiera sido 1 menor o igual que 1...eso significa que debí haberle incluido al cero para que se cumpliera...pero el ejercicio no nos permitía hacer eso...entonces ya sabemos que hacer para que esa  expresión sea verdadera...

$|a+1| \leq |a|+1$

Ahí si eso verdad¡...ésto se llama desigualdad triangular